Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: amérique du nord

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification.
Une bonne réponse apporte 1 point, une mauvaise enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à 0.

Rappel : La notation pAB désigne la probabilité de l'évènement B sachant que l'évènement A est réalisé.

questionréponse

1. A et B sont deux évènements indépendants tels que pA=0,7 et pB=0,2.

  • pAB=0,14

  • pAB=0,9

  • pAB=0,5

2. Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le côté face est égale à 13.
On lance 4 fois de suite cette pièce.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le côté face ?

  • 1881

  • 7281

  • 6581

3. On considère l'arbre pondéré ci-dessous. Quelle est la probabilité de pHF ?

Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  • pHF=0,7

  • pHF=0,56

  • pHF=0,875

4. Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, n fois de suite (avec n>1).
Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur ?

  • 1-12n

  • 1-12n-1

  • 1-122n


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La courbe (C) ci-dessous représente une fonction F définie et dérivable sur l'intervalle J=12+.
On sait que (C) coupe l'axe des abscisses au point 30* et a une tangente horizontale au point 1-2. On note f la fonction dérivée de F.

*Voir la remarque sur le corrigé.

Courbe représentative de la fonction F : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. À l'aide du graphique, donner les variations de F et en déduire le signe de f.

    2. Donner f1, F1 et F3. Préciser le signe de f3.

    3. Calculer 13fxdx.

  1. Trois fonctions f1, f2 et f3 sont définies sur l'intervalle J par : f1x=x2-x+1e2x-1f2x=ln2x-1etf3x=-1+12x-1 Une de ces trois fonctions est la fonction f.

    1. Étudier le signe de f1 sur l'intervalle J.

    2. Résoudre l'équation f2x=0 sur l'intervalle J.

    3. Calculer f31.

    4. Calculer 13f3xdx.

    5. En déduire la fonction f.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Première Partie : Étude d'un graphe

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On considère le graphe ci-dessus.

    1. Ce graphe est-il connexe ?

    2. Déterminer le degré de chacun des sommets.

      On pourra donner le résultat sous forme de tableau.

    3. Justifier l'existence d'une chaîne eulérienne.

    1. Déterminer un encadrement du nombre chromatique de ce graphe.

    2. Montrer que ce nombre chromatique est égal à 3.

deuxième Partie : visite d'un musée

Plan du musée : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Voici le plan d'un musée : les parties grisées matérialisent les portes et les visiteurs partent de l'accueil, visitent le musée et doivent terminer leur visite à la boutique.

  1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe en précisant ce que représentent arêtes et sommets.

    1. Pourquoi est-il possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une fois et une seule par toutes les portes ?

    2. Donner un exemple d'un tel circuit.

  2. Comment colorier les salles y compris l'accueil et la boutique, en utilisant un minimum de couleurs, pour que 2 salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes ?


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Dans tout l'exercice, le détail des calculs statistiques n'est pas demandé. Les résultats seront arrondis à 10−3.
On rappelle que l'image d'un réel x par la fonction exponentielle peut être notée expx=ex.

On veut étudier l'évolution des records de l'épreuve d'athlétisme du 100 mètres masculin. Pour cela, on cherche un ajustement des records pour en prévoir l'évolution.

On donne dans le tableau suivant certains records, établis depuis 1900.

Année19001912192119301964198319911999
Rang de l'année, xi012213064839199
Temps en secondes, yi10,8010,6010,4010,3010,069,939,869,79
  1. Étude d'un modèle affine

    1. Construire le nuage de points Mixiyi avec i compris entre 1 et 8, associé à cette série statistique double. On prendra comme unité graphique 1 cm pour dix ans en abscisse et 1 cm pour un dixième de secondes en ordonnées.
      On commencera les graduations au point de coordonnées 09.

    2. Peut-on envisager un ajustement affine à court terme ? Cet ajustement permet-il des prévisions pertinentes à long terme sur les records futurs ?

  2. Étude d'un modèle exponentiel

    Après étude, on choisit de modéliser la situation par une autre courbe.
    On effectue les changements de variables suivants : X=e-0,00924xetY=lny On obtient le tableau suivant :

    Xi=e-0,00924xi10,8950,8240,7580,5540,4640,4310,401
    Yi=lnyi2,3802,3612,3422,3322,3092,2962,2882,281
    1. Donner une équation de la droite de régression de Y en X obtenue par la méthode des moindres carrés.

    2. En déduire que l'on peut modéliser une expression de y en fonction de x sous la forme suivante : y=expae-0,00924x+ba et b sont deux réels à déterminer.

    3. À l'aide de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on prévoir en 2010 ?

    4. Calculer la limite en + ∞ de la fonction f définie sur par l'expression suivante : ft=exp0,154e-0,00924t+2,221.

    5. Que peut-on en conclure, en utilisant ce modèle, quant aux records du cent mètres masculin, à très long terme ?


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

PREMIÈRE PARTIE

On considère une fonction g définie sur l'intervalle -12+ par gx=-x2+ax-ln2x+b, où a et b sont deux réels.

Calculer a et b pour que la courbe représentative de g dans un plan muni d'un repère Oıȷ passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 12.

DEUXIÈME PARTIE

Soit f la fonction définie sur l'intervalle -12+ par fx=-x2+2x-ln2x+1 On admet quef est dérivable et on note f sa dérivée.

Le tableau de variation de la fonction f est le suivant :

x-12 0 12 + ∞
Signe de fx    +0 
Variations de f    

+ ∞

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

0

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

34+ln12

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

− ∞


  1. Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.

    1. Montrer que l'équation fx=0 admet une unique solution α dans l'intervalle 121.

    2. Donner un encadrement de α d'amplitude 10− 2.

  2. Déterminer le signe de fx sur l'intervalle -12+.



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