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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
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\DecimalMathComma
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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2007 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Amérique du Nord}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Amérique du Nord 2007}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification.}
 
 \emph{Une bonne réponse apporte $1$ point, une mauvaise enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à $0$.}
 
\begin{center}\textbf{\textsc{\textsf{compléter le document réponse}}}\end{center}
 
\textbf{Rappel : } La notation $P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})$ désigne la probabilité de l'évènement B sachant que l'évènement A est réalisé.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{13cm}|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c}{\textsc{\textsf{Questions}}}  \rule[-2ex]{0pt}{5ex}& \\ \hline
\textbf{1.} A et B sont deux évènements indépendants tels que $p(A)=0,7$ et $p(B) = 0,2$. &  \rule[-2ex]{0pt}{2ex}

\psframe(.25,.25) \quad $p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,14$ 

	\psframe(.25,.25) \quad $p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,9$
		 
\psframe(.25,.25) \quad $p_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) =  0,5$ 	

 \\ \hline
\textbf{2.} Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le côté face est égale à $\dfrac{1}{3}$. On lance $4$ fois de	suite cette pièce.

Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le côté face ? &

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{18}{81}$

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{72}{81}$

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex}$\dfrac{65}{81}$  \\ \hline

 \textbf{3.}  On considère l'arbre pondéré ci-dessous. 

\begin{center}
\pstree[levelsep=3,treesep=.7,linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{E}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{G}\taput{0,6}
		  \TR{H}\tbput{}	   
	  }
	\pstree{\TR{F}\tbput{}}
	  {
		  \TR{G}\taput{0,3}
		  \TR{H}\tbput{}	  
	  }
}
\end{center}

Quelle est la probabilité de $P_{\text{H}}(\text{F})$ ? &

\psframe(.25,.25) \quad $P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,7$

\psframe(.25,.25) \quad $P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,56$

\psframe(.25,.25) \quad $P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,875$ \\\hline

\textbf{4.} Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules	noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, $n$ fois de suite (avec $n> 1$). 

Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur ?& 

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $1 - \dfrac{1}{2^n}$

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}$

\psframe(.25,.25) \quad \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $1 - \dfrac{1}{2^{2n}}$\\ \hline
\end{tabularx} 


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}\right)$ ci-dessous représente une fonction $F$ définie et derivable sur l'intervalle  $J= \left]\dfrac{1}{2}~ ;~ + \infty\right[$.

On sait que $\left(\mathcal{C} \right)$ coupe l'axe des abscisses au point $(3 ; 0)$ et a une tangente horizontale au point $(1~;~ - 2)$.

On note $f$ la fonction dérivée de $F$.

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-2.1)(7.5,5.5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-.5)*ln(2*x-1)-x+3-2.5*ln(5)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-.5,-2)(7.5,5.5)
\psset{xunit=2cm,yunit=0.625cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.1 0.1,yticksize=-0.03 0.03,Dy=2,Ox=0.5,Dx=1,comma]{->}(0,0)(-.49,-4)(7.49,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.4,0){$x$} \uput[l](-0.0625,10.7){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=700,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.501}{7.5}{\f}
\end{pspicture*}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  à l'aide du graphique, donner les variations de $F$ et en déduire le signe de $f$. 
\item  Donner $f(1)$, $F(1)$ et $F(3)$. Préciser le signe de $f(3)$.
\item  Calculer $\displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\dd x$.
 \end{enumerate}
\item  Trois fonctions $f_{1}$, $f_{2}$ et $f_{3}$ sont définies sur l'intervalle $J$ par :
\[f_{1}(x) = (x^2 - x +1)\e^{2x - 1},~\;	f_{2}(x) =  \ln (2x - 1 )~\;	\text{et}~\; f_{3}(x)  = - 1 + \frac{1}{2x - 1}.\]
Une de ces trois fonctions est la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item  \'Etudier le signe de $f_{1}$ sur l'intervalle $J$. 
\item   Résoudre l'équation $f_{2}(x) = 0$ sur l'intervalle $J$. 
\item   Calculer $f_{3}(1)$.
\item   Calculer $\displaystyle\int_{1}^3 f_{3}(x)\:\dd x$. 
\item   En déduire la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{première partie :} \'Etude d'un graphe}}}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.25,-.5)(6.25,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{radius=.8mm,linecolor=bleu}
\Cnode(0,.5){Y}
\Cnode(0,2){Z}  \Cnode(1,2.5){A}  
\Cnode(3,4){B}  \Cnode(2.5,1.8){C}  
\Cnode(4,2){D}  \Cnode(3.5,0.5){G}  \Cnode(6,3){F}  
\Cnode(5.5,1.5){E}  \Cnode(5,0){H}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\ncline{Z}{A} \ncline{A}{B} \ncline{B}{F} \ncline{F}{E} 
\ncline{E}{H} \ncline{E}{D} \ncline{E}{B} \ncline{H}{G} 
\ncline{G}{D} \ncline{G}{C} \ncline{C}{D} \ncline{A}{C} 
\ncline{Y}{C} \ncline{B}{D} \ncline{A}{Y} \ncline{Y}{G}
\uput[l](0,0.5){\textsf{\small{\bleu {Y}}}}  \uput[l](0,2){\textsf{\small{\bleu {Z}}}}  \uput[u](1,2.5){\textsf{\small{\bleu {A}}}}    \uput[u](3,4){\textsf{\small{\bleu {B}}}}  \uput[d](2.5,1.8){\textsf{\small{\bleu {C}}}}   \uput[dr](3.9,2){\textsf{\small{\bleu {D}}}}  \uput[d](3.5,0.5){\textsf{\small{\bleu {G}}}}  \uput[r](6,3){\textsf{\small{\bleu {F}}}}  \uput[r](5.5,1.5){\textsf{\small{\bleu {E}}}}  \uput[d](5,0){\textsf{\small{\bleu {H}}}}  
\end{pspicture*}
\end{center}

On considère le graphe ci-dessus.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Ce graphe est-il connexe ?
\item  Déterminer le degré de chacun des sommets.

On pourra donner le résultat sous forme de tableau.

\item  Justifier l'existence d'une chaîne eulérienne.
 \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Déterminer un encadrement du nombre chromatique de ce graphe.
\item  Montrer que ce nombre chromatique est égal à 3.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{deuxième partie :} Visite d'un musée}}}

\medskip

\noindent
\psset{unit=1cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture*}(-.25,-.25)(13.75,4.75)
\psset{linewidth=1pt}
\psframe(0,0)(11.5,3)%accueil
\psline(11.5,0)(13.5,0)(13.5,4.5)(2,4.5)(2,3)
\psline(2,4.2)(0,4.2)(0,3)
\psline(6.75,4.5)(6.75,3)
\psline(11.5,4.5)(11.5,3)
\psline(3.5,1.5)(11.5,1.5)
\psline(3.5,3)(3.5,0)
\psline(5.5,3)(5.5,1.5)
\psline(9.5,3)(9.5,1.5)
\psline(7.5,1.5)(7.5,0)
\psset{linewidth=3pt,linecolor=gray}
\psline(0,1)(0,2)
\psline(0,3.2)(0,4)
\psline(3.5,0.45)(3.5,1.05)
\psline(7.5,0.45)(7.5,1.05)
\psline(3.5,1.95)(3.5,2.55)
\psline(5.5,1.95)(5.5,2.55)
\psline(9.5,1.95)(9.5,2.55)
\psline(11.5,1.95)(11.5,2.55)
\psline(11.5,3.45)(11.5,4.05)
\psline(6.75,3.45)(6.75,4.05)
\psline(2,3.3)(2,3.9)
\psline(2.45,3)(3.05,3)
\psline(4.2,3)(4.8,3)
\psline(7.825,3)(8.425,3)
\psline(10.2,3)(10.8,3)
\psline(4.2,1.5)(4.8,1.5)
\psline(6.2,1.5)(6.8,1.5)
\psline(10.2,1.5)(10.8,1.5)
\rput(1,3.6){\textsf{\small{Boutique}}} \rput(1.75,1.5){\textsf{\small{Accueil}}}
\rput(4.375,3.6){\textsf{\small{A}}}  \rput(9.125,3.6){\textsf{\small{B}}}  \rput(4.5,2.25){\textsf{\small{C}}}  \rput(7.5,2.25){\textsf{\small{D}}}  \rput(10.5,2.25){\textsf{\small{E}}}  \rput(12.5,2.25){\textsf{\small{F}}}  \rput(5.5,0.75){\textsf{\small{G}}}  \rput(9.5,0.75){\textsf{\small{H}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

Voici le plan d'un musée : les parties grisées matérialisent les portes et les visiteurs partent de l'accueil, visitent le musée et doivent terminer leur visite à la boutique.

\begin{enumerate}
\item  Représenter la situation à l'aide d'un graphe en précisant ce que représentent ar\^etes et sommets.
\item  \begin{enumerate}
\item  Pourquoi est-il possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une fois et une seule par toutes les portes ? 
\item  Donner un exemple d'un tel circuit.
 \end{enumerate}
\item  Comment colorier les salles y compris l'accueil et la boutique, en utilisant un minimum de couleurs, pour que deux salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes ?
\end{enumerate}



\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, le détail des calculs statistiques n'est pas demandé.}

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.}

\emph{On rappelle que l'image d'un réel $x$ par la fonction exponentielle peut être notée  $\mathrm{exp}(x) = \e^x$.}

 \medskip
 
On veut étudier l'évolution des records de l'épreuve d'athlétisme du 100 mètres masculin. Pour cela, on cherche un ajustement des records pour en prévoir l'évolution.

On donne dans le tableau suivant certains records, établis depuis 1900.

 \medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 1900&1912&1921&1930&1964&1983&1991&1999\\ \hline
Rang de l'année, $x_{i}$&0&12&21&30&64&83&91&99\\ \hline
Temps en secondes, $y_{i}$&10,80&10,60&10,40&10,30&10,06&9,93&9,86&9,79\\ \hline
 \end{tabularx}
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  \textbf{\'Etude d'un modèle affine} 

\begin{enumerate}
\item  Construire le nuage de points $M_{i}(x_{i}~ ;~ y_{i})$, avec $i$ compris entre 1 et 8, associé à cette série statistique double. On prendra comme unité graphique 1~cm pour dix ans en abscisse et 1~cm pour un dixième de seconde en ordonnées. On commencera les graduations au point de coordonnées $(0 ; 9)$.
\item  Peut-on envisager un ajustement affine à court terme ? Cet ajustement permet-il des prévisions pertinentes à long terme sur les records futurs ?
 \end{enumerate}
\item  \textbf{\'Etude d'un modèle exponentiel}

  Après étude, on choisit de modéliser la situation par une autre courbe. On effectue les changements de variables suivants :
  \[ X =  \e^{-0,00924x}~ \text{et}~ Y= \ln y.\]
On obtient le tableau suivant :

  \medskip
  \renewcommand*\arraystretch{1.25} 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
 $X_{i} =  \e^{-0,00924x_{i}}$ &	1	&0,895 	&0,824 	&0,758 	&0,554 	&0,464 	&0,431&	0,401\\ \hline
$Y_{i} = \ln y_{i}$& 	2,380& 	2,361& 	2,342&	2,332&	2,309&	2,296&	2,288&	2,281\\ \hline
 \end{tabularx}
   \renewcommand*\arraystretch{1} 
 \medskip
\begin{enumerate}
\item  Donner une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
\item  En déduire que l'on peut modéliser une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme suivante : 

$y = \mathrm{exp} \left(a \e^{- 0,00924x} + b \right)$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
\item  à l'aide de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on prévoir en 2010 ?
\item  Calculer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression suivante:
\[f(t) = \mathrm{exp}\left(0,154 \e^{-0,00924x} + 2,221\right).\]
\item  Que peut-on en conclure, en utilisant ce modèle, quant aux records du cent mètres masculin, à très long terme?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{première partie}}}}

\medskip

On considère une fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$ par :
\[ g(x) = - x^2 + a x - \ln (2x + b),~ \text{o\`u} ~a~ \text{et}~ b~ \text{sont deux réels.}\]
Calculer $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $g$ dans un plan muni d'un repère \Oij{} passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.\\

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{deuxième partie}}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$ par  $f(x) = -x^2 + 2x - \ln (2x+1)$.

On admet que $f$ est dérivable et on note $f'$ sa dérivée.

Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :

 \begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.3,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.3,3.6) \psline(3,0)(3,3.6) \psline(0,2.8)(16.3,2.8)\psline(0,2)(3.2,2) \psline(3.4,2)(16.3,2)
\psline(3.2,0)(3.2,2.8) \psline(3.4,0)(3.4,2.8)
\rput(1.5,3.2){$x$}\rput(3.3,3.2){$- \frac{1}{2}$} \rput(7.8,3.2){$0$} \rput(11.8,3.2){$\frac{1}{2}$}\rput(15.8,3.2){$+ \infty$}
\rput(1.5,2.4){signe de $f'(x)$} \rput(5.8,2.4){$-$} \pnode(7.8,2.8){m1}\pnode(7.8,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.8,2.4){$+$} \pnode(11.8,2.8){n1}\pnode(11.8,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(13.8,2.4){$-$}
\rput(1.5,1){variations de $f$} \rput(3.8,1.7){\rnode{A}{$+\infty$}} \rput(7.8,.3){\rnode{B}{0}} \rput(11.8,1.7){\rnode{C}{\small{$\frac{3}{4} + \ln \left(\frac{1}{2}\right)$}}} \rput(15.8,.3){\rnode{D}{$-\infty$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.
\item  \begin{enumerate}
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~ ;~ 1\right]$.
\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
 \end{enumerate}
\item  Déterminer le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$.
\end{enumerate}
       
\end{document}