sujet : Antilles-Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :

   1. $f\left(1\right)$ et $f\prime \left(1\right)$.

      $A\left(1;-1\right)$ est un point de la courbe C alors, $f\left(1\right)=-1$

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      La courbe C admet une tangente parallèle à (Ox) au point $A\left(1;-1\right)$ alors, $f\prime \left(1\right)=0$

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   2. $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      L'axe (Oy) est asymptote à la courbe C alors, la limite de f en 0 est ± ∞. D'après sa représentation graphique, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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      L'axe (Ox) est asymptote à la courbe C alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

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   3. les solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$ et les solutions de l'inéquation $f\prime \left(x\right)⩾0$.

      Les solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$ sont les abscisses des points de la courbe C situés au dessus de l'axe des abscisses. Or $B\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}};0\right)$ est le point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

      Donc $f\left(x\right)⩾0\iff x\in \left]0;{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right]$

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      La fonction f est croissante sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$. Donc $f\prime \left(x\right)⩾0\iff x\in \left[1;+\infty \right[$

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2. On admet que, pour tout réel x de l'intervalle I, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{a+b\ln x}{x}}$ où a et b sont deux nombres réels.

   1. Exprimer $f\prime \left(x\right)$ en fonction des réels a et b.

      Pour tout réel x de l'intervalle $I=\left]0;+\infty \right[$, posons : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=a+b\ln x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=b\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$ alors, $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ donc $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$.

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b}{x}}\times x-\left(a+b\ln x\right)}{x^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{b-a-b\ln x}{x^2}}\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{b-a-b\ln x}{x^2}}$.

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   2. Utiliser les résultats de la question 1a pour montrer que $a=-1$ et $b=-1$.

      $f\left(1\right)=-1\Rightarrow {\displaystyle \frac{a+b\times \ln 1}{1}}=-1$. Soit $a=-1$

      D'où $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{b+1-b\ln x}{x^2}}$.

      $f\prime \left(1\right)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{b+1-b\times \ln 1}{1}}=0$. Soit $b=-1$

      Ainsi, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-1-\ln x}{x}}$ et $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}$.

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   3. Retrouver les résultats de la question 1c par le calcul.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)⩾0$ équivaut à ${\displaystyle \frac{-1-\ln x}{x}}⩾0$ et $x>0$. Soit $$\begin{array}{lll}-1-\ln x⩾0\text{ et }x>0& \iff & -\ln x⩾1\text{ et }x>0\\ & \iff & \ln x⩽-1\text{ et }x>0\\ & \iff & x⩽{\mathrm{e}}^{-1}\text{ et }x>0\\ & \iff & 0<x⩽{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\end{array}$$

      Donc $f\left(x\right)⩾0\iff x\in \left]0;{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right]$

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      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)⩾0$ équivaut à ${\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}⩾0$ et $x>0$. Soit $$\begin{array}{lll}\ln x⩾0\text{ et }x>0& \iff & x⩾1\text{ et }x>0\end{array}$$

      Donc $f\prime \left(x\right)⩾0\iff x\in \left[1;+\infty \right[$

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