Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un pays, un organisme étudie l'évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel et annuel de 14 pour mille. De plus, chaque année, 12 000 personnes arrivent dans ce pays et 5 000 personnes le quittent. En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus.
On note $P_{n}$ la population de l'année 2005 + n exprimée en milliers d'habitants.

Déterminer $P_{0}$ , $P_{1}$ et $P_{2}$ . La suite de terme général $P_{n}$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier la réponse.
Exprimée en milliers d'habitants, $\begin{array}{l} P_{0} & = & 75 000 \\ P_{1} & = & 75 000 + 75 000 \times \frac{14}{1000} + 12 - 5 & = & 76 057 \\ P_{2} & = & 76 057 + 76 057 \times 0,014 + 12 - 5 & = & 77 128,798 \end{array}$
Il est immédiat que :
- $P_{1} - P_{0} \neq P_{2} - P_{1}$ donc la suite de terme général $P_{n}$ n'est pas arithmétique.
- $\frac{P_{1}}{P_{0}} \neq \frac{P_{2}}{P_{1}}$ donc la suite de terme général $P_{n}$ n'est pas géométrique.
Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = 1,014 P_{n} + 7$ .
Soit $P_{n}$ la population de l'année 2005 + n exprimée en milliers d'habitants alors l'année suivante, $P_{n + 1} = P_{n} + P_{n} \times 0,014 + 12 - 5 = 1,014 P_{n} + 7$
Ainsi, pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = 1,014 P_{n} + 7$
Démontrer que la suite $(U_{n})$ définie par $U_{n} = P_{n} + 500$ pour tout entier naturel n est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.
Montrons qu'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, $U_{n + 1} = q \times U_{n}$ . (Voir la définition d'une suite géométrique.)Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{l} U_{n + 1} & = & P_{n + 1} + 500 \\ = & 1,014 P_{n} + 7 + 500 \\ = & 1,014 P_{n} + 507 \\ = & 1,014 (P_{n} + \frac{507}{1,014}) \\ = & 1,014 (P_{n} + 500) \\ = & 1,014 U_{n} \end{array}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, $U_{n + 1} = 1,014 U_{n}$ donc la suite $(U_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,014.
$U_{0} = P_{0} + 500 = 75 500$
$(U_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,014 et de premier terme 75 500.
Exprimer $U_{n}$ puis $P_{n}$ en fonction de n.
$(U_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,014 et de premier terme 75 500 alors, d'après la propriété des suites géométriques : Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_{0}$ alors, pour tout entier n : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ et, plus généralement, pour tout entier $n ⩾ p$ : $u_{n} = u_{p} u^{n - p}$ avec $p \in ℕ$ .
pour tout entier naturel n, $U_{n} = 75 500 \times {1,014}^{n}$
Par conséquent, pour tout entier naturel n $P_{n} + 500 = 75 500 \times {1,014}^{n} \Leftrightarrow P_{n} = 75 500 \times {1,014}^{n} - 500$
Pour tout entier naturel n, $P_{n} = 75 500 \times {1,014}^{n} - 500$
1. Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010 ?
  Le rang de l'année 2010 est 5 $P_{5} = 75 500 \times {1,014}^{5} - 500 \approx 80 435,066$
  En 2010, on peut prévoir une population d'environ 80 435 000 habitants.
2. Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2005 ?
  On cherche à déterminer le plus petit entier n tel que $\begin{array}{l} P_{n} ⩾ 2 \times 75 000 & \Leftrightarrow & 75 500 \times {1,014}^{n} - 500 ⩾ 150 000 \\ \Leftrightarrow & {1,014}^{n} ⩾ \frac{150 500}{75 500} \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,014}^{n}) ⩾ \ln \frac{301}{151} \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,014 ⩾ \ln \frac{301}{151} \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln \frac{301}{151}}{\ln 1,014} \approx 49,62 \end{array}$
  La population aura doublé par rapport à l'année 2005 au bout de 50 ans.

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