Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur 5 dm (décimètres). Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels x et y tels que et .
La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux 12 arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de 0,8 euro le dm.
Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.
On décide d'investir exactement 80 euros pour la construction du bâti métallique.
Montrer que, pour cet investissement, les dimensions x et y sont liées par la contrainte
La construction du bâti métallique nécessite 4 arêtes de longueur x dm, 4 arêtes de longueur y dm et 4 arêtes de longueur 5 dm. Le coût de fabrication est donc de
Avec un investissement de 80 euros pour la construction du bâti métallique, x et y sont liées par la contrainte :
Ainsi, avec un investissement de 80 euros pour la construction du bâti métallique, x et y sont liées par la contrainte .
Déterminer en fonction de x et y le volume V, exprimé en dm3, de cet aquarium.
L'aquarium a la forme d'un pavé droit donc :
exprimé en dm3, le volume V de cet aquarium est .
En déduire le volume V en fonction de x sous la contrainte précédente.
Donc sous la contrainte ,
On définit la fonction f sur l'intervalle par .
Montrer que la fonction f admet un maximum sur .
Sur l'intervalle ,
La fonction f est la restriction sur l'intervalle d'une fonction polynôme du second degré avec . Elle atteint un maximum pour
Sur , la fonction f admet un maximum atteint pour .
En déduire les dimensions de l'aquarium pour que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal.
Le volume est maximal pour . D'où
Avec un investissement de 80 euros pour la construction du bâti métallique, le volume maximal de l'aquarium est de 500 dm3. L'aquarium ayant la forme d'un pavé droit de base un carré de côté 10 dm et de hauteur 5 dm.
Soit g la fonction définie pour tout et tout par .
On donne ci-dessous, la représentation graphique de la surface d'équation dans un repère orthogonal .
Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation , parallèle au plan ? Justifier la réponse.
Si , alors
est l'équation d'un plan parallèle à l'axe des abscisses. Ainsi, la section de la surface par le plan d'équation est l'ensemble des points tels que . C'est la droite intersection des deux plans.
La section de la surface par le plan d'équation est la droite caractérisée par le système d'équations .
Montrer que représente en fonction des dimensions x et y l'aire S, exprimée en dm2, de la surface vitrée de l'aquarium.
La surface vitrée de l'aquarium est constituée du fond rectangulaire d'aire de deux parois rectangulaire d'aire et de deux parois rectangulaire d'aire
L'aire S, exprimée en dm2, de la surface vitrée de l'aquarium est donc égale à
Ainsi, représente l'aire S de la surface vitrée de l'aquarium.
On suppose pour cette question que .
Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée.
Sous la contrainte si alors . D'où
L'aire de la surface vitrée de l'aquarium est égale à 296 dm2.
Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de y pour lesquelles l'aire est comprise entre 400 et 500 dm2.
Avec la précision permise par le dessin, les valeurs de y pour lesquelles l'aire est comprise entre 400 et 500 dm2 sont les entiers de l'intervalle .
Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1.
. D'où l'aire est comprise entre 400 et 500 dm2 pour les entiers y solution de
L'ensemble des solutions entières est
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