Baccalauréat septembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On donne ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f définie sur [0;+[ par f(x)=e-12x+1 dans un repère orthonormé du plan (O;𝚤,𝚥) d'unité 2 cm.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Démontrer que l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 2 est y=-12x+2. Tracer T sur le graphique fourni.

    • Calcul de la dérivée de la fonctionf

      f=eu avec u définie sur [0;+[ par u(x)=-12x+1 et u(x)=-12 . D'où f(x)=-12e-12x+1

    • équation de la tangente

      L'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 2 est donnée par la relation : y=f(2)×(x-2)+f(2)

      Or f(2)=e-12×2+1=e0=1 et f(2)=-12e-12×2+1=-12 . D'où : y=-12×(x-2)+1y=-12x+2

    La tangente T à la courbe C au point d'abscisse 2 a pour équation y=-12x+2.


  2. On définit la fonction g sur l'intervalle [0;+[ par g(x)=f(x)+12x-2

    1. Démontrer que la fonction g est décroissante sur l'intervalle [0;2] et croissante sur l'intervalle [2;+[.

      Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée :

      • Pour tout réel x de l'intervalle [0;+[, g(x)=f(x)+12Soitg(x)=-12e-12x+1+12g(x)=12(1-e-12x+1)

      • D'après la première question, f(2)=-12 d'où g(2)=0 et d'autre part, sur l'intervalle [0;+[, g(x)<012(1-e-12x+1)<01-e-12x+1<0e-12x+1>1e-12x+1>e0-12x+1>0La fonction exponentielle est strictement croissantex<2

      • Tableau des variations de la fonction g

        x0 2 +
        Signe de g ' 0||+ 
        Variations de g   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.   fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

      Ainsi, la fonction g est décroissante sur l'intervalle [0;2] et croissante sur l'intervalle [2;+[.


    2. Calculer g(2). En déduire le signe de g sur l'intervalle [0;+[. Interpréter graphiquement le résultat.

      g(2)=f(2)+12×2-2Soitg(2)=1-1=0

      D'après les variations de la fonction g, g admet un minimum atteint pour x=2 . Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle [0;+[, g(x)g(2)Soitg(x)0

      Ainsi, sur [0;+[ la fonction g est positive.


      g(x)=f(x)+12x-2=f(x)-(-12x+2). Les positions relatives de la courbe C et de la tangente T, se déduisent du signe de g.

      La courbe C est au dessus de la tangente T.


    1. Hachurer sur le graphique le domaine D délimité par la courbe C , la droite T, la droite d'équation x=2 et l'axe des ordonnées.

      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Calculer l'aire du domaine D en cm2. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−2.

      Sur l'intervalle [0;2], la fonction g est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que ab, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;𝚤,ȷ) .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle [a;b],  f(x)0, alors abf(x)dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

      L'intégale 02g(x)dx mesure en unités d'aire, l'aire du domaine D délimité par la courbe C , la droite T, la droite d'équation x=2 et l'axe des ordonnées.

      • calcul d'une primitive de la fonction g

        g est définie sur l'intervalle [0;+[ par g(x)=f(x)+12x-2 . Déterminons une primitive de la fonction f :

        f=-2×u×eu avec u définie sur [0;+[ par u(x)=-12x+1 et u(x)=-12

        D'où une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle [0;+[ par F(x)=-2e-12x+1

        Donc une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle [0;+[ par G(x)=-2e-12x+1+x24-2x

      • calcul de l'intégrale 02g(x)dx

        02g(x)dx=[-2e-12x+1+x24-2x]02=(-2e-12×2+1+224-2×2)-(-2e1)=2e-5

      L'unité d'aire est l'aire d'un carré de 2 cm de côté soit 4 cm2.

      L'aire du domaine D est égale à (8e-20) cm2. Soit arrondie à 10−2 près 1,75 cm2.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.