On donne ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f définie sur par dans un repère orthonormé du plan d'unité 2 cm.
Démontrer que l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 2 est . Tracer T sur le graphique fourni.
Calcul de la dérivée de la fonctionf
avec u définie sur par et . D'où
équation de la tangente
L'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 2 est donnée par la relation :
Or et . D'où :
La tangente T à la courbe C au point d'abscisse 2 a pour équation .
On définit la fonction g sur l'intervalle par
Démontrer que la fonction g est décroissante sur l'intervalle et croissante sur l'intervalle .
Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée :
Pour tout réel x de l'intervalle ,
D'après la première question, d'où et d'autre part, sur l'intervalle ,
Tableau des variations de la fonction g
x | 0 | 2 | |||
Signe de g ' | − | + | |||
Variations de g |
Ainsi, la fonction g est décroissante sur l'intervalle et croissante sur l'intervalle .
Calculer . En déduire le signe de g sur l'intervalle . Interpréter graphiquement le résultat.
D'après les variations de la fonction g, g admet un minimum atteint pour . Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, sur la fonction g est positive.
. Les positions relatives de la courbe C et de la tangente T, se déduisent du signe de g.
La courbe C est au dessus de la tangente T.
Hachurer sur le graphique le domaine D délimité par la courbe C , la droite T, la droite d'équation et l'axe des ordonnées.
Calculer l'aire du domaine D en cm2. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−2.
Sur l'intervalle , la fonction g est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que , f une fonction définie et continue sur l'intervalle et sa courbe représentative dans un repère orthogonal .
Si, pour tout réel x de l'intervalle , , alors est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
L'intégale mesure en unités d'aire, l'aire du domaine D délimité par la courbe C , la droite T, la droite d'équation et l'axe des ordonnées.
calcul d'une primitive de la fonction g
g est définie sur l'intervalle par . Déterminons une primitive de la fonction f :
avec u définie sur par et
D'où une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle par
Donc une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle par
calcul de l'intégrale
L'unité d'aire est l'aire d'un carré de 2 cm de côté soit 4 cm2.
L'aire du domaine D est égale à cm2. Soit arrondie à 10−2 près 1,75 cm2.
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