sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. Lorsque l'automobiliste se présente au premier feu, la probabilité que le signal soit orange est ${\displaystyle \frac{1}{6}}$, la probabilité qu'il soit rouge est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

   1. Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au premier feu ?

      Si le signal est orange ou rouge, l'automobiliste s'arrête donc $$p\left(A_1\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

      La probabilité que l'automobiliste s'arrête au premier feu est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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   2. Quelle est la probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu ?

      $$p\left(\overline{A_1}\right)=1-p\left(A_1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

      La probabilité que l'automobiliste passe sans s'arrêter au premier feu est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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2. Si l'automobiliste s'est arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête également au deuxième feu est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; s'il ne s'est pas arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête au deuxième feu est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

   1. Illustrer cette situation par un arbre pondéré.

   2. Démontrer que la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas sur son trajet est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

      La probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas au deuxième feu sachant qu'i ne s'est pas arrêté au premier feu est $$\begin{array}{lll}{p}_{\overline{A_1}}\left(\overline{A_2}\right)& =& 1-p_{\overline{A_1}}\left(A_2\right)\\ & =& 1-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

      D'où $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\right)& =& p\left(A_1\right)\times p_{\overline{A_1}}\left(\overline{A_2}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

      La probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas sur son trajet est égale à ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

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   3. Calculer $p\left(A_1\cap A_2\right)$ et $p\left(\overline{A_1}\cap A_2\right)$ ; en déduire $p\left(A_2\right)$.

      $$\begin{array}{llll}& p\left(A_1\cap A_2\right)=p\left(A_1\right)\times p_{A_1}\left(A_2\right)& \text{et}& p\left(\overline{A_1}\cap A_2\right)=p\left(\overline{A_1}\right)\times p_{\overline{A_1}}\left(A_2\right)\\ \text{D'où}& p\left(A_1\cap A_2\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}& \text{et}& p\left(\overline{A_1}\cap A_2\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}$$

      $A_1$ et $A_2$ sont deux évènements relatifs à la même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{lll}p\left(A_2\right)& =& p\left(A_1\cap A_2\right)+p\left(\overline{A_1}\cap A_2\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{12}}\end{array}$$

      La probabilité que l'automobiliste s'arrête au deuxième feu est égale à ${\displaystyle \frac{5}{12}}$.

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   4. L'automobiliste s'est arrêté au deuxième feu. Quelle est la probabilité qu'il se soit également arrêté au premier feu ?

      $$\begin{array}{lll}{p}_{A_2}\left(A_1\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(A_1\cap A_2\right)}{p\left(A_2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{12}{5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}$$

      La probabilité que l'automobiliste se soit arrêté au premier feu sachant qu'il s'est arrêté au deuxième feu est égale à ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.

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3. Si l'automobiliste effectue le trajet sans s'arrêter, celui-ci dure neuf minutes, s'il s'arrête une fois, douze minutes, et s'il s'arrête deux fois, quinze minutes.

   1. Déterminer la loi de probabilité de la durée du trajet.

      La loi de probabilité du nombre d'arrêts est

      Nombre d'arrêts	0	1	2
      probabilité	${\displaystyle \frac{1}{3}}$	a	${\displaystyle \frac{1}{4}}$

      Avec $$a=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$$

      D'où la loi de probabilité de la durée du trajet :

      Durée du trajet	9	12	15
      Probabilité	${\displaystyle \frac{1}{3}}$	${\displaystyle \frac{5}{12}}$	${\displaystyle \frac{1}{4}}$

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   2. Déterminer la durée moyenne du trajet.

      Sur un grand nombre de trajets, la durée moyenne d'un trajet est l'espérance mathématique de la loi de probabilité Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$ de la durée du trajet.

      Soit $$\mu =9\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+12\times {\displaystyle \frac{5}{12}}+15\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{47}{4}}$$

      La durée moyenne du trajet est d'environ 12 minutes (plus précisément 11 min 45 s).

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