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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath}} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath} ,\vec k} \right)$}
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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2007 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Antilles Guyane}}\\(Deuxième session}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Antilles Guyane 2007\\(Deuxième session}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier la proposition qui vous semble exacte sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.

Barême : \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $F :  x \longmapsto  \ln (2x + 4)$ est une primitive sur $[0~ ;~ + \infty[$ de la fonction $f$ définie par :

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$f(x)=\dfrac{1}{x + 4}$ & $f(x) =	\dfrac{1}{2x + 4}$ & $f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$\\
\end{tabular*}

\item  L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1  3x\e^{x^2}\:\dd x$ est égale à :

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$6(\e - 1)$ & $\dfrac{3}{2}(\e - 1)$ & $\dfrac{3}{2}\e$\\
\end{tabular*}

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{1}{x} - \ln x+1$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonorrnal \Oij.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ passe par le point de coordonnées :

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$(2~ ;~ 0)$ & $(1 ~;~ -1)$ & $\left(2~;~\dfrac{3}{2} - \ln 2\right)$\\
\end{tabular*}

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= 2x+ \ln \left( \dfrac{x + 1}{2x}\right)$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

La courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite d'équation :


\begin{tabular*}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$ y = 0$	& $ y = 2x - \ln 2$	& $y=2x$.
\end{tabular*}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
On donne ci-dessous la proportion, en pourcentage, du nombre d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année $a_{i}$			&	1980&	1985&	1990&	1995	&	2000	& 2003\\ \hline
Proportion $y_{i}$	&	11,4	&	19,6	&	30,1	&	37,6	&42,6		& 45,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\noindent On souhaite effectuer un ajustement de cette série statistique de la proportion en fonction de l'année.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Construire le nuage de points de coordonnées $(a_{i},~ y_{i})$ dans le plan muni du repère orthogonal suivant
\begin{itemize}
\item  sur l'axe des abscisses, on placera 1980 à l'origine et on prendra comme unité 0,5~cm,
\item  sur l'axe des ordonnées, on placera $10$ à l'origine et on prendra comme unité 0,5~cm. 
 \end{itemize}
\item  Un ajustement affine semble-t-il adapté ?
\end{enumerate}
\item  On note $a$ l'année et $y$ la proportion, on pose $x = a -1950$ et $t = \ln x$.
\begin{enumerate}
\item  Compléter sur la feuille annexe le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $a_{i}$	 & 1980	& 1985 & 1990	& 1995	& 2000 & 2003\\ \hline
$x_{i} = a_{i} - 1950$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 30		&		&		&		&		&\\ \hline
$t_{i}  = \ln x_{i}$	\rule[-4mm]{0pt}{1cm}	& 3,401 &		&		&		&		&\\ \hline
$y_{i}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 11,4	&		&		&		&		&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\noindent On donnera pour $t$ des valeurs arrondies au millième.
\item  Exprimer $y$ en fonction de $t$ par une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.
\item  En déduire la relation : $y = 61,3 \ln x - 197$.
\item  Quel pourcentage du nombre d'enfants nés hors mariage (arrondi à 1~\%), peut-on prévoir en 2010 en utilisant cet ajustement ?
\item  À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera-t-elle supérieure à 60~\% ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur 5~dm (décimètres).

Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels $x$ et $y$ tels que $x \in ]0~ ;~ 20[$ et $y \in ]0~  ;~  20[$.

La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux 12 arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de 0,8~euro le dm.

Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.


\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

On décide d'investir exactement 80~euros pour la construction du bâti métallique.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour cet investissement, les dimensions $x$ et $y$ sont liées par la contrainte $x + y =  20$.
\item  \begin{enumerate}
\item  Déterminer en fonction de $x$ et $y$ le volume $V$, exprimé en $\mathrm{dm}^3$, de cet aquarium.
\item 	En déduire le volume $V$ en fonction de $x$  sous la contrainte précédente.
 \end{enumerate}
\item  On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~ 20[$ par $f(x) = V$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ admet un maximum sur $]0 ~;~ 20[$.
\item En déduire les dimensions de l'aquarium peur que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in ]0 ~;~ 20[$  et tout $y \in ]0 ~;~ 20[$ par $g(x,~y)= xy + 10(x+y)$.

On donne en annexe la représentation graphique de la surface d'équation $z =g(x,~y)$ dans un repère orthonormé \Oijk.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation $x = 12$, parallèle
au plan $\left(\text{O}~ ;~ \vec j,~ \vec{k}\right)$ ? Justifier la réponse.
\item  Montrer que $g(x,~y)$ représente en fonction des dimensions $x$ et $y$ l'aire $S$, exprimée en $\mathrm{dm}^2$, de la surface vitrée de l'aquarium.
\item  On suppose pour cette question que $x =12.$
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée.
\item 	Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de $y$ pour lesquelles l'aire est comprise entre 400 et 500~$\mathrm{dm}^2$.
\item 	Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2)(14.5,11)
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.55cm}
\definecolor{C1} {rgb}{1 0.44 1}
\definecolor{C2} {rgb}{.8 .6 1}
\definecolor{C3} {rgb}{1 1 0.8}
\definecolor{C4} {rgb}{.8 1 0.8}
\definecolor{C5} {rgb}{0 1 0}
\definecolor{C6} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C7} {rgb}{.8 .8 1}
\definecolor{C8} {rgb}{0 0 1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,linecolor=gray,Beta=12,Alpha=165}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=22,yMax=22,zMax=800,drawing=false]
%à noter : le repère du sujet original (Excel like ?) n'est pas direct. Il faut donc inverser les x et les y
\pstThreeDPut(10,0,-1.5){$y$} \pstThreeDPut(22,10,-.5){$x$}
\pstThreeDPut(-2.5,0,8){$z$}
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDPut(\n,0 ,-0.5){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+4}{6}{\pstThreeDPut(21,\n ,0){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+2}{9}{\fpMul{\z}{\n}{50}\pstThreeDPut(-1,0,\n){\footnotesize{\z}}}
\multido{\n=0+2}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,20,\n)(20,20,\n)}
\multido{\n=0+1}{21}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,20,0)(\n,20,16)}
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDLine(20,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,16)}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(20,0,0)
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](20,0,0)(20,20,0)
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,0,16)
%courbes de niveaux 
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
%z=0-100
\parametricplotThreeD(0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,0){t 0 t 5 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){0 t t 5 div}}
%z>=100
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{ 
\pstThreeDLine(10,0,2)(20,0,4)
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)
\pstThreeDLine(20,20,16)(0,20,4)
\pstThreeDLine(0,20,4)(0,10,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
}
%z>=200
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{ 
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)(0,20,4)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,20){t 200 t 10 mul sub t 10 add div 4}
}
%z>=300
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{ 
\pstThreeDLine(20,3.3333,6)(20,20,16)(3.3333,20,6)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,60){t 3 div 900 t 10 mul sub t 30 add div 6}
}
%z>=400
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{ 
\pstThreeDLine(20,6.66667,8)(20,20,16)(6.66667,20,8)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](20,60){t 3 div 1200 t 10 mul sub t 30 add div 8}
}
%z>=500
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6]{ 
\pstThreeDLine(20,10,10)(20,20,16)(10,20,10)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,20){t  500 t 10 mul sub t 10 add div 10}
}
%z>=600
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7]{ 
\pstThreeDLine(20,13.33333,12)(20,20,16)(13.33333,20,12)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](40,60){t 3 div 1800 t 10 mul sub t 30 add div 12}
}
%z>=700
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8]{ 
\pstThreeDLine(20,16.66667,14)(20,20,16)(16.66667,20,14)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](50,60){t 3 div 2100 t 10 mul sub t 30 add div 14}
}
%surface
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=20,linewidth=0.5pt](0,20)(0,20){x y mul  x y add 10 mul add 50 div} %50div pour que cela rentre 
%la légende
\psset{unit=0.45cm}
\psframe[linewidth=0.25pt,linecolor=black](27.5,7)(32,15.5)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=bleu}
\psframe[ fillcolor=C1](28,7.4)(28.6,8)  \rput[l](29.2 ,7.7){\small{\textsf{0-100}}}
\psframe[ fillcolor=C2](28,8.4)(28.6,9)  \rput[l](29.2,8.7){\small{\textsf{100-200}}}
\psframe[ fillcolor=C3](28,9.4)(28.6,10)  \rput[l](29.2,9.7){\small{\textsf{200-300}}}
\psframe[ fillcolor=C4](28,10.4)(28.6,11)  \rput[l](29.2,10.7){\small{\textsf{300-400}}}
\psframe[ fillcolor=C5](28,11.4)(28.6,12)  \rput[l](29.2,11.7){\small{\textsf{400-500}}}
\psframe[ fillcolor=C6](28,12.4)(28.6,13)  \rput[l](29.2,12.7){\small{\textsf{500-600}}}
\psframe[ fillcolor=C7](28,13.4)(28.6,14)  \rput[l](29.2,13.7){\small{\textsf{600-700}}}
\psframe[ fillcolor=C8](28,14.4)(28.6,15)  \rput[l](29.2,14.7){\small{\textsf{700-800}}}
\end{pspicture*}
\end{center}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par $f(x) = \e^{- \frac{1}{2}x + 1}$
 dans un repère orthonormé du plan \Oij{} d'unité 2~cm.
 
 \medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.5)(5,3.75)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{Euler^(1-.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-0.25,-0.5)(5,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.025 0.025,yticksize=-0.025 0.025]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(5,3.75)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](4.9,0){$x$} \uput[l](-0.05,3.6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
\uput[ur](0,2.71828){\bleu{e}} \uput[u](4.75,0.25){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est $y= - \dfrac{1}{2}x + 2$. Tracer $T$ sur le graphique de la feuille annexe.
\item  On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par  $g(x) = f(x) + \dfrac{1}{2}x	- 2$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $[0 ; 2]$ et croissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$.
\item  Calculer $g(2)$. En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. Interpréter graphiquement le résultat.
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Hachurer sur le graphique, le domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$, la droite d'équation $x = 2$ et l'axe des ordonnées.
\item  Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en $\mathrm{cm}^2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores. 

Si, lorsqu'il parvient à leur niveau, le signal est vert, il passe, si le signal est orange ou rouge, il s'arrête.

On note : 

\begin{itemize}
\item $A_{1}$ l'évènement : \og l'automobiliste s'arrête au premier feu \fg.
\item  $A_{2}$ l'évènement: \og l'automobiliste s'arrête au deuxième feu \fg.
\end{itemize}
On note $\overline{A_{1}}$  et $\overline{A_{2}}$ les évènements contraires des évènements $A_{1}$ et $A_{2}$.
\begin{enumerate}
\item Lorsque l'automobiliste se présente au premier feu, la probabilité que le signal soit orange est $\dfrac{1}{6}$, la probabilité qu'il soit rouge est $\dfrac{1}{3}$.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au premier feu ? 
\item  Quelle est la probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu ?
 \end{enumerate}
\item  Si l'automobiliste s'est arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête également au deuxième feu est $\dfrac{1}{2}$ ;	s'il ne s'est pas arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête au deuxième feu est $\dfrac{1}{3}$.
\begin{enumerate}
\item  Illustrer cette situation par un arbre pondéré. 
\item   Démontrer que la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas sur son trajet est $\dfrac{1}{3}$.
\item  	Calculer $P\left(A_{1} \cap  A_{2}\right)$ et $P\left(\overline{A_{1}} \cap  A_{2}\right)$ ;  en déduire $P\left(A_{2}\right)$.
\item  	L'automobiliste s'est arrêté au deuxième feu. Quelle est la probabilité qu'il se soit également arrêté au premier feu ?
 \end{enumerate}
\item  	Si l'automobiliste effectue le trajet sans s'arrêter, celui-ci dure neuf minutes, s'il s'arrête une fois, douze minutes, et s'il s'arrête deux fois, quinze minutes.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la loi de probabilité de la durée du trajet.
\item  Déterminer la durée moyenne du trajet.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

      
\end{document}