Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : asie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

Sur son trajet habituel pour aller travailler, un automobiliste rencontre deux feux tricolores successifs dont les fonctionnements sont supposés indépendants.
Ces feux sont réglés de telle sorte que la probabilité pour un automobiliste de rencontrer le feu au vert est 512, à l'orange 112 et au rouge 12.

On note :

  • R1 l'évènement : le premier feu rencontré est au rouge
  • V1 l'évènement : le premier feu rencontré est au vert
  • O1 l'évènement : le premier feu rencontré est à l'orange

et on définit de même R2, V2, O2 pour le deuxième feu rencontré.

  1. Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ?

    La probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert est pV1V2.

    Or les fonctionnements des feux sont indépendants d'où pV1V2=pV2 et pV1V2=pV1×pV2=512×512=25144

    Ainsi, la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert est égale à 25144.


  2. Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert.

    « Au moins un des deux feux rencontrés n'est pas au vert » est l'évènement contraire de « Les deux feux rencontrés sont au vert »

    D'où la probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert est : 1-25144=119144

    La probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert est égale à 119144.


partie b

On règle le deuxième feu afin de rendre la circulation des véhicules plus fluide.

L'arbre suivant modélise la nouvelle situation dans laquelle les fonctionnements des deux feux ne sont plus indépendants.

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  1. Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ?

    La probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert est : pV1V2=pV1V2×pV1=34×512=516

    La probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert est égale à 516.


  2. Quelle est la probabilité que le deuxième feu rencontré par l'automobiliste soit au vert ?

    V1, R1 et O1 forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :pB=pBA+pBA¯
    pV2=pV1V2+pR1V2+pO1V2=516+pR1V2×pR1+pO1V2×pO1=516+78×12+0×112=34

    La probabilité que le deuxième feu rencontré par l'automobiliste soit au vert est égale à 34.



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