sujet : asie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

1. Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ?

   La probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert est $p\left({\mathrm{V}}_1\cap {\mathrm{V}}_2\right)$.

   Or les fonctionnements des feux sont indépendants d'où $p_{{\mathrm{V}}_1}\left({\mathrm{V}}_2\right)=p\left({\mathrm{V}}_2\right)$ et $$\begin{array}{lll}p\left({\mathrm{V}}_1\cap {\mathrm{V}}_2\right)& =& p\left({\mathrm{V}}_1\right)\times p\left({\mathrm{V}}_2\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{12}}\times {\displaystyle \frac{5}{12}}\\ & =& {\displaystyle \frac{25}{144}}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert est égale à ${\displaystyle \frac{25}{144}}$.

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2. Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert.

   « Au moins un des deux feux rencontrés n'est pas au vert » est l'évènement contraire de « Les deux feux rencontrés sont au vert »

   D'où la probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert est : $$1-{\displaystyle \frac{25}{144}}={\displaystyle \frac{119}{144}}$$

   La probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert est égale à ${\displaystyle \frac{119}{144}}$.

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partie b

1. Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ?

   La probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert est : $$\begin{array}{lll}p\left({\mathrm{V}}_1\cap {\mathrm{V}}_2\right)& =& p_{{\mathrm{V}}_1}\left({\mathrm{V}}_2\right)\times p\left({\mathrm{V}}_1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{5}{12}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{16}}\end{array}$$

   La probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert est égale à ${\displaystyle \frac{5}{16}}$.

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2. Quelle est la probabilité que le deuxième feu rencontré par l'automobiliste soit au vert ?

   V₁, R₁ et O₁ forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{lll}p\left({\mathrm{V}}_2\right)& =& p\left({\mathrm{V}}_1\cap {\mathrm{V}}_2\right)+p\left({\mathrm{R}}_1\cap {\mathrm{V}}_2\right)+p\left({\mathrm{O}}_1\cap {\mathrm{V}}_2\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{16}}+p_{{\mathrm{R}}_1}\left({\mathrm{V}}_2\right)\times p\left({\mathrm{R}}_1\right)+p_{{\mathrm{O}}_1}\left({\mathrm{V}}_2\right)\times p\left({\mathrm{O}}_1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{16}}+{\displaystyle \frac{7}{8}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+0\times {\displaystyle \frac{1}{12}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

   La probabilité que le deuxième feu rencontré par l'automobiliste soit au vert est égale à ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

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