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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
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\DecimalMathComma
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2007 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet France Métropolitaine}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{France Métropolitaine 2007}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\textsf{NOTATION :}\emph{ une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre réel $a$ et pour tout nombre réel $b$, on peut affirmer que $\dfrac{\e^a}{\e^b}$ est égal à :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X@{}}}
\textsc{\textsf{réponse a :}} \:$\e^{\left(\frac{a}{b}\right)}$ & \textsc{\textsf{réponse bc :}} \:$\e^{(a - b)}$ & \textsc{\textsf{réponse c :}} \:$\e^{a} - \e^{b}$\\
\end{tabularx}

\item  On considère trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ telles que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) \leqslant  g(x) \leqslant  h(x)$.

Si l'on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = +\infty$ alors on peut en déduire que :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X@{}}}
\textsc{\textsf{réponse a :}} \:$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ & \textsc{\textsf{réponse b :}} \:$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = -\infty$ & \textsc{\textsf{réponse c :}} \:$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = +\infty$ \\
\end{tabularx}

\item  On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$. On donne ci-dessous son	 tableau de variations.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,3.6) \psline(2,0)(2,3.6) \psline(0,2.8)(16.5,2.8)\psline(0,2)(16.5,2) 
\rput(1,3.2){$x$}\rput(2.5,3.2){$- \infty$} \rput(7,3.2){$-1$} \rput(11.5,3.2){$1$}\rput(16,3.2){$+ \infty$}
\rput(1,2.4){$f'(x)$} \rput(4.75,2.4){$+$} \pnode(7,2.8){m1}\pnode(7,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.4){$-$} \pnode(11.5,2.8){n1}\pnode(11.5,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(13.75,2.4){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{$0$}} \rput(7,1.7){\rnode{B}{$\e$}} \rput(11.5,.3){\rnode{C}{{$\sqrt{2}$}}} \rput(16,1.7){\rnode{D}{$+ \infty$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item   L'équation $f(x) =1$ admet dans $\R$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X@{}}}
\textsc{\textsf{réponse a :}} \:trois solutions & \textsc{\textsf{réponse b :}} \:deux solutions & \textsc{\textsf{réponse c :}} \:une solution \\
\end{tabularx}

\item   On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère \Oij. La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ peut avoir pour équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X@{}}}
\textsc{\textsf{réponse a :}} \:$y=-3x+2$ & \textsc{\textsf{réponse b :}} \:$y = 3x+2$ & \textsc{\textsf{réponse c :}} \:$y= -4$ \\
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

Dans un pays européen, le montant des recettes touristiques, exprimé en millions d'euros, est donné dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	& 2000 &	2001 &	2002 &	2003 &	2004 &	2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$ &	0 &	1 &	2 &	3 &	4 &	5\\ \hline
Montant des recettes touristiques $y_{i} $ en millions d'euros & 24495 &	26500 &	29401 &	33299 &	33675 &	34190 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.\\
 Les coefficients, obtenus à l'aide de la calculatrice, seront arrondis au centième.
\item  En supposant que cet ajustement est valable jusqu'en 2007, calculer le montant que l'on peut prévoir pour les recettes touristiques de l'année 2007, arrondi au million d'euros.
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre entier $n$ par  $f(n) = \e^{10,13 + 0,07n}$.

On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen. 

Ainsi, $f(n)$ représente le montant des recettes touristiques (exprimé en millions d'euros) de ce pays européen pour l'année $2000+n$.
\begin{enumerate}
\item Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que l'on peut prévoir pour l'année 2007. Arrondir le résultat au million d'euros.
\item  \begin{enumerate}
\item  Déterminer le nombre entier $n$ à partir duquel $f(n) >  45000 $. 
\item  En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le montant des recettes touristiques dépasserait  {45~000} millions d'euros.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 
La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs
: le travail de la main d'{\oe}uvre et l'utilisation des machines. On
désigne :

\begin{itemize}
\item par $x$ la durée journalière de travail de la main d'{\oe}uvre, exprimée
en heure; $x$ appartient à l'intervalle $]0~;~10]$
\item par $y$ la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée
en heures; $y$ appartient à l'intervalle $]0~;~12]$.
\end{itemize}
La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation
:\[
f\left(x;y\right)=\frac{3xy}{x+y}\mbox{ avec }0<x\leqslant10\mbox{ et }0<y\leqslant12.\]


La figure ci-dessous représente la surface $\left(\mathcal{S}\right)$
d'équation : $z=f\left(x;y\right)$ pour $0<x\leqslant10$ et $0<y\leqslant12$.

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.25)(16.5,12)
\psset{Beta=10,Alpha=172}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .2 .6}
\newrgbcolor{C2} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C3}{.8 .6 1}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{C6}{.28 1 0.6}
\newrgbcolor{C7}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C8}{1 1 .8}
\newrgbcolor{C9}{.8 .6 .5}
\newrgbcolor{C11}{.6 .7 .6}
\newrgbcolor{C10}{.9 .8 0.98}
\newrgbcolor{C12}{.05 0.25 .05}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=gray}
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,9)(0,12,9)(10,12,9)(10,12,0)(10,0,0)(0,0,0)
 \pstThreeDPut(-0.25,0,2){\footnotesize 4}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,4){\footnotesize 8}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,6){\footnotesize 12}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,1){\footnotesize 2}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,3){\footnotesize 6}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,5){\footnotesize 10}  
 \pstThreeDPut(-0.25,0,0){\footnotesize 0}
\pstThreeDPut(-0.25,0,7){\footnotesize 14}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,8){\footnotesize 16}
 \pstThreeDPut(-0.25,0,9){\footnotesize 18}
\pstThreeDPut(5,0,-1){\footnotesize{$x$ : durée journalière de travail de la main d'{\oe}uvre}}
\pstThreeDPut(12.5,6,0){\footnotesize{$y$: durée journalière}}
\pstThreeDPut(12.5,5.5,-0.5){\footnotesize{d'utilisation des machines}}
\rput{90}(-1,5){\footnotesize{$z$ : quantité journalière produite}}
\rput(7.5,11.5){\bf{surface $(\mathcal{S})$  d'équation $z=\dfrac{3xy}{x + y}$}}
\pstThreeDLine(0,12,0)(0,12,9)
\psset{linewidth=0.5pt}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.25){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDPut(10.2,\n,-.25){\scriptsize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,12,\n)(10,12,\n)}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,12,0)(\n,12,9)}
\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDLine(10,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,9)}
%z est divisé par 2
%z est divisé par 2
\psset{linecolor=C0,linewidth=0.75pt}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C12]{ 
\pstThreeDLine(0,0,0)(10,0,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0,12){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,0){ t 12 18 t mul 12 t add div}
\pstThreeDLine(10,0,0)(0,0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](0.70588,10){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0.7142857,0){10 t 15 t mul 10 t add div}
\pstThreeDLine(10,0,0)(0,0,0)(0,12,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,0.70588){t 12 18 t mul t 12 add div}
}
%z=2-4
\pscustom[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C2,hatchcolor=C3,hatchsep=4pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,0.70588){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0.70588,1.5){t 12 18 t mul t 12 add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](1.5,10){t 4 t mul 3 t mul 4 sub div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](1.53846,0.7142857){10 t 15 t mul 10 t add div}
}
%z=4-6
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](2.4,10){t 6 t mul 3 t mul 6 sub div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.5,1.53846){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,1.5){t 4 t mul 3 t mul 4 sub div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](1.5,2.4){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=6-8
\pscustom[fillstyle=vlines*,fillcolor=C5,hatchcolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](2.4,10){t 6 t mul 3 t mul 6 sub div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.5,3.6364){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,3.42857){t 8 t mul 3 t mul 8 sub div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2.4,3.42857){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=8-10
\newgray{gris}{0.30}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](3.42857,10){t 8 t mul 3 t mul 8 sub div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](3.6364,5){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](10,4.61538){t 10 t mul 3 t mul 10 sub div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.61538,3.42857){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=10-12
\pscustom[fillstyle=hlines*,fillcolor=C8,hatchcolor=C9]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](4.61538,10){t 10 t mul 3 t mul 10 sub div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](5,6.6667){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](6,10){t 12 t mul 3 t mul 12 sub div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6,4.61538){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=12-14
\newgray{gris}{0.60}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C10]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=100](6,10){t 12 t mul 3 t mul 12 sub div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6.6666,8.75){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,7.63636){t 14 t mul 3 t mul 14 sub div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=500](7.63636,6){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%z=14-16
\pscustom[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C11,hatchcolor=white,hatchsep=3pt,hatchwidth=1.8pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.6364,10){t 14 t mul 3 t mul 14 sub div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](8.75,11.42857){10 t 15 t mul 10 t add div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,9.6){t 16 t mul 3 t mul 16 sub div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](9.6,7.6364){t 12 18 t mul t 12 add div}}
%surface
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=bleu}
\psplotThreeD[xPlotpoints=10,yPlotpoints=12,drawStyle=xyLines,plotstyle=curve](0.001,10)(0.001,12){%
3 x y mul mul x y add div 2 div}
% le bord de la surface :
\parametricplotThreeD[linecolor=C0](0,10){t 12 t 36 mul t 12 add div 2 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=C0](0,12){10 t t 15 mul t 10 add div}
%le point A
\pstThreeDDot[dotstyle=x,dotscale=2,linewidth=2pt](6,1.7142857,2)
\pstThreeDPut(5.8,1.5,2.55){\large{\bf{$A$}}}
%la légende
\psset{linewidth=0.5pt, linecolor=C0}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C1](13,3.5)(13.5,4)  \rput[l](14,3.75){$0\leqslant z\leqslant 2$}
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C2,hatchcolor=C3,hatchsep=4pt](13,4.25)(13.5,4.75)  \rput[l](14,4.5){$2\leqslant z\leqslant 4$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C4](13,5)(13.5,5.5)  \rput[l](14,5.25){$4\leqslant z\leqslant 6$}
\psframe[fillstyle=vlines*,fillcolor=C5,hatchcolor=C6](13,5.75)(13.5,6.25)  \rput[l](14,6){$6\leqslant z\leqslant 8$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C7](13,6.5)(13.5,7)  \rput[l](14,6.75){$8\leqslant z\leqslant 10$}
\psframe[fillstyle=hlines*,fillcolor=C8,hatchcolor=C9](13,7.25)(13.5,7.75)  \rput[l](14,7.5){$10\leqslant z\leqslant 12$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C10](13,8)(13.5,8.5)  \rput[l](14,8.25){$12\leqslant z\leqslant 14$}
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=C11,hatchcolor=white,hatchsep=3pt,hatchwidth=1.8pt](13,8.75)(13.5,9.25)  \rput[l](14,9){$14\leqslant z\leqslant 16$}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C12](13,9.5)(13.5,10)  \rput[l](14,9.75){$16\leqslant z\leqslant 18$}
\end{pspicture*}
\par\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{ Partie 1 :}}} Le point $A$ représenté par une croix est un point de la surface $\left(\mathcal{S}\right)$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer graphiquement l'abscisse et la cote du point $A$. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).
\item  Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l'entreprise.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{ Partie 2 :}}} Pour chaque heure, le coût total du travail s'élève à 4 milliers d'euros, et le coût d'utilisation des machines s'élève à 1 millier d'euros.

L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors $4x+y=36$.

La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~10]$ par $g(x)={\displaystyle \frac{4x^{2}-36x}{x-12}}$.

\begin{enumerate}
\item  On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur l'intervalle $]0~;~10]$.
\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~10]$, calculer $g'(x)$ et montrer que $g'(x)={\displaystyle\frac{4\left(x-6\right)\left(x-18\right)}{\left(x-12\right)^{2}}}$.
\item   étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~10]$.
\end{enumerate}
\item   
\begin{enumerate}
\item  En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d'utilisation des machines permettant d'obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d'euros.
\item  Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet. 

40\:\% des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30\:\% sont de niveau moyen et 30\:\% de niveau difficile.

Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95\:\% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60\:\% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40\:\% des cas.

Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.

On considère les évènements suivants :
 \begin{itemize}
\item[] F : \og la grille est de niveau facile \fg
\item[] M : \og la grille est de niveau moyen \fg
\item[] D : \og la grille est de niveau difficile \fg
\item[] R : \og Pierre réussit la grille \fg ~et $\overline{\text{R}}$ son évènement contraire. 
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item 	\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse. 
\item Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas. 
\item Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.
 \end{enumerate}
\item	Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?
\item Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite s{\oe}ur affirme: \og Je pense que ta grille était facile \fg.

Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.\\

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\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie i : étude des coûts hebdomadaires de production}}}}

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\begin{enumerate}
\item  Le coût marginal de production est fonction de la quantité $x$ de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction $C_{m}$ définie pour les nombres réels $x$ de l'intervalle $[0 ; 10]$ par $C_{m}(x) = x + \dfrac{16}{x + 1}$.
($C_{m}(x)$ est exprimé en centaines d'euros, $x$ en kilogrammes). 

\' Etudier les variations de la fonction $C_{m}$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
\item En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction $C_{m}$.

 Déterminer la fonction $C$, primitive de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$ qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre $0$ et $10$ kilogrammes, sachant que $C(0) = 0$.
\end{enumerate}
 
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\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie ii  :  étude du bénéfice hebdomadaire.}}}}

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On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu. Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse $x$ (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut \^etre modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[1 ; 10]$ par  $B(x)= 9x - 0,5x^2 -  16\ln (x + 1)$.

La représentation graphique de la fonction $B$ dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe $(\Gamma)$ donnée ci-dessous.



 \begin{center} 
 \psset{unit=1cm}
 \begin{pspicture}(-1,-3)(11,6) 
 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{9*x-0.5*x^2-16*ln(x+1)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(11,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-1,-3)(11,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](10.8,0){$x$} \uput[l](0,5.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{10}{\f}
 \uput[dr](9.5,3){\bleu $(\Gamma)$}
 \end{pspicture} 
\end{center}



\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  On admet que la fonction $B$ est strictement croissante sur l'intervalle $[1 ; 7]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[7 ; 10]$.

En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal.
\item  Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro).
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Utiliser la courbe $(\Gamma)$ pour déterminer un encadrement d'amplitude $0,5$ de la plus petite quantité $x_{0}$ de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.
\item  Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de $x_{0}$ approchée au centième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
        
\end{document}