sujet : liban

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Les places d'une salle de cinéma sont toutes occupées. Le film proposé est une rediffusion d'une comédie à grand succès. Dans cette salle, les hommes représentent 25% des spectateurs, les femmes ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ des spectateurs et les autres spectateurs sont des enfants.
${\displaystyle \frac{1}{5}}$ des hommes et 30% des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois.

À la fin de la projection, on interroge au hasard une personne sortant de la salle.

On appelle :

• H l'évènement : « la personne interrogée est un homme » ;
• F l'évènement : « la personne interrogée est une femme » ;
• E l'évènement : « la personne interrogée est un enfant » ;
• V l'évènement : « la personne interrogée avait déjà vu le film avant cette projection » ;
• $\overline{V}$ l'évènement : « la personne interrogée n'avait jamais vu le film avant cette projection ».

La notation $p\left(A\right)$ désigne la probabilité de l'évènement A. La notation $p_B\left(A\right)$ désigne la probabilité de l'évènement A sachant que B est réalisé.

partie a

1. À l'aide des notations ci-dessus, traduire la situation décrite en recopiant et en complétant l'arbre pondéré dont le départ est proposé ci-dessous. On prendra soin de le compléter au fur et à mesure.

2. 1. Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $H\cap V$.

   2. Donner $p_H\left(V\right)$ et en déduire $p\left(H\cap V\right)$.

3. La probabilité que l'évènement V soit réalisé est égale à 0,345.

   1. Déterminer $p\left(\overline{V}\right)$.

   2. Déterminer la probabilité que si l'on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au moins une fois avant cette projection.

      Il s'agit de calculer la probabilité de l'évènement V sachant que E est réalisé.

4. On interroge au hasard et successivement quatre personnes sortant de la salle. On suppose que le nombre de spectateurs est suffisamment grand pour assimiler l'interrogation au hasard d'un spectateur à un tirage avec remise.
   Quelle est la probabilité arrondie à 10⁻³ près, qu'au moins une personne ait déjà vu le film avant cette projection ?

   L'évènement "au moins un des quatre spectateurs a déjà vu le film " est l'évènement contraire de l'évènement "Aucune des quatre personnes interrogées n'avait déjà vu le film ".

partie b

À la fin de l'année, une étude nationale a été réalisée sur le nombre de fois qu'un spectateur sortant de la salle est allé voir ce film. Le tableau ci-dessous, pour lequel il manque une valeur notée q représente la loi de probabilité du nombre de fois que le spectateur est allé voir ce film.

Nombre de fois	1	2	3	4	5	6
probabilité	0,55	0,15	0,15	0,05	q	0,05

1. 1. Déterminer q.

   2. En déduire l'espérance mathématique, arrondie à l'unité, de cette loi de probabilité et interpréter le résultat obtenu.

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