sujet : liban

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

Pour tout réel x de $\left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=\left(ax+b\right)\ln x$ où a et b sont deux réels.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ en fonction de a et b.

   $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=ax+b& \text{ ; }& u\prime \left(x\right)=a\\ v\left(x\right)=\ln x& \text{ ; }& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$ . Donc $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& a\ln x+\left(ax+b\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

   Pour tout réel x de $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)=a\ln x+{\displaystyle \frac{ax+b}{x}}$

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2. Sans justifier et par lecture graphique, donner $f\left(4\right)$ et $f\prime \left(1\right)$.

   Par lecture graphique, $f\left(4\right)=0$. Le coefficient directeur de la tangente (AB) à la courbe au point d'abscisse 1 est égal à 3 d'où $f\prime \left(1\right)=3$

   $f\left(4\right)=0$ et $f\prime \left(1\right)=3$.

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3. Justifier que a et b sont solutions du système d'équations suivant : $\{\begin{array}{rcl}4a+b& =& 0\\ a+b& =& 3\end{array}$
   Déterminer a et b.

   $f\left(4\right)=0\iff \left(4a+b\right)\ln 4=0$. Soit $4a+b=0$.

   $f\prime \left(1\right)=3\iff a\ln 1+a+b=3$. Soit $a+b=3$.

   Ainsi a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{lllll}\{\begin{array}{rcl}4a+b& =& 0\\ a+b& =& 3\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}3a& =& -3\\ a+b& =& 3\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcr}a& =& -1\\ b& =& 4\end{array}\end{array}$$

   Ainsi f est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\left(4-x\right)\ln x$

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partie b

On admet que la fonction précédente est définie pour tout x de $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\left(4-x\right)\ln x$. On appelle S l'aire hachurée sous la courbe C.

1. Soit F la fonction définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(x^2\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-8x\ln x+8x\right)$.
   Montrer que F est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   Dire que F est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$ signifie que pour tout x de $\left]0;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Calculons $F\prime \left(x\right)$.

   Pour tout réel x de $\left]0;+\infty \right[$ :

   • la dérivée de la fonction $x⟼x^2\ln x$ est la fonction $x⟼2x\ln x+x^2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$. Soit la fonction $x⟼2x\ln x+x$.
     $\left(\text{Dérivée d'un produit : }\left(uv\right)\prime =u\prime v+uv\prime \right)$

   • la dérivée de la fonction $x⟼8x\ln x$ est la fonction $x⟼8\ln x+8x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$. Soit la fonction $x⟼8\ln x+8$.

   Pour tout réel x de $\left]0;+\infty \right[$, $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(x^2\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-8x\ln x+8x\right)$ donc $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(2x\ln x+x-{\displaystyle \frac{2x}{2}}-\left(8\ln x+8\right)+8\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(2x\ln x+x-x-8\ln x-8+8\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(2x\ln x-8\ln x\right)\\ & =& -x\ln x+4\ln x\\ & =& \left(4-x\right)\ln x\end{array}$$

   Ainsi, pour tout x de $\left]0;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

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2. En déduire la valeur exacte de $I={\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[F\left(x\right)\right]}_1^4}\\ & =& F\left(4\right)-F\left(1\right)\\ & =& \left[-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(4^2\ln 4-{\displaystyle \frac{4^2}{2}}-8\times 4\times \ln 4+8\times 4\right)\right]-\left[-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(1^2\ln 1-{\displaystyle \frac{1^2}{2}}-8\times 1\times \ln 1+8\times 1\right)\right]\\ & =& \left[-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(16\ln 4-8-32\ln 4+32\right)\right]-\left[-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+8\right)\right]\\ & =& \left(8\ln 4-12\right)-\left(-{\displaystyle \frac{15}{4}}\right)\\ & =& 8\ln 4-{\displaystyle \frac{33}{4}}\end{array}$$

   Ainsi, $I=8\ln 4-{\displaystyle \frac{33}{4}}$. ( ou $I=16\ln 2-\mathrm{8,25}$)

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3. Donner une valeur arrondie à 10⁻¹ de S exprimée en unités d'aire. Justifier.

   Étutions le signe de f sur $\left]0;+\infty \right[$

   x	0				1		4		$+\infty$
   $4-x$			+		$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $\ln x$			−		$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   Signe de $f\left(x\right)=\left(4-x\right)\ln x$			−		$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   Sur l'intervalle $\left[1;4\right]$, la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
   Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

   L'intégale $\mathrm{I}={\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure en unités d'aire, l'aire du domaine S délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=4$.

   Or $8\ln 4-{\displaystyle \frac{33}{4}}\approx \mathrm{2,84}$

   Arrondie à 10⁻¹ l'aire du domaine S exprimée en unités d'aire est 2,8 u.a

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