Baccalauréat session 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ , strictement croissante sur l'intervalle $] 0; 2]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[2; + \infty [$ . On note $f'$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

La courbe Γ représentative de la fonction f dans un repère orthonormé est tracée ci-contre.

Elle passe par les points $A (\frac{1}{2}; - 2)$ , $B (1; 0)$ , $C (2; 1)$ et $D (\frac{7}{2}; 0)$ .

E est le point de coordonnées $(1; \frac{3}{2})$ .

La courbe Γ admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

La droite (AE) est tangente à la courbe Γ au point A.

Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse).Les réponses ne seront pas justifiées.

notation : une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte retire 0,25 point ; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

Affirmation	Vrai	Faux
a) L'équation $f (x) = - 1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ . La droite d'équation $y = - 1$ coupe la courbe Γ en deux points donc l'affirmation est vraie.	V	F
b) Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\frac{1}{7}$ . Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à : $\begin{array}{l} a = \frac{y_{E} - y_{A}}{x_{E} - x_{A}} & Soit & a = \frac{1,5 - (- 2)}{1 - 0,5} = 7 \end{array}$ Donc l'affirmation est fausse.	V	F
c) Les fonctions f et $f'$ ont le même signe sur l'intervalle $[1; 2]$ . Sur l'intervalle $[1; \frac{7}{2}]$ , la courbe Γ est au dessus de l'axe des abscisses donc $f (x) ⩾ 0$ sur $[1; 2]$ . D'autre part, f est strictement croissante sur l'intervalle $] 0; 2]$ donc $f' (x) ⩾ 0$ sur $[1; 2]$ . L'affirmation est vraie.	V	F
d) Les primitives de la fonction f sont croissantes sur l'intervalle $[1; \frac{7}{2}]$ . f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ donc f admet des primitives sur cet intervalle. Dire que F est une primitive de f sur l'intervalle $[1; \frac{7}{2}]$ signifie que pour tout réel $x \in [1; \frac{7}{2}]$ , $F' (x) = f (x)$ . Or sur l'intervalle $[1; \frac{7}{2}]$ , $f (x) ⩾ 0$ donc F est croissante sur cet intervalle. L'affirmation est vraie.	V	F
e) On peut calculer $\ln [f (x)]$ pour tout réel x de l'intervalle $] 0; + \infty [$ . La fonction ln est définie sur $] 0; + \infty [$ donc on ne peut calculer $\ln [f (x)]$ que pour les réels x tel que $f (x) > 0$ . C'est à dire, pour les réels $x \in] 1; \frac{7}{2} [$ . L'affirmation est fausse.	V	F
f) La fonction g définie sur l'intervalle $[2; + \infty [$ par $g (x) = e^{f (x)}$ est croissante sur cet intervalle. La fonction exponentielle est une fonction strictement croissante sur $ℝ$ par conséquent, la fonction g définie sur l'intervalle $[2; + \infty [$ par $g (x) = e^{f (x)}$ a les mêmes variations que la fonction f sur cet intervalle. Or f est strictement décroissante sur l'intervalle $[2; + \infty [$ donc g est strictement décroissante sur cet intervalle. L'affirmation est fausse.	V	F

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