sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le détail des calculs statistiques à effectuer à la calculatrice n'est pas demandé.

1. Représenter dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ le nuage des points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé à cette série statistique.
   On prendra comme unités graphiques 2 cm pour 1 année en abscisse et 1 cm pour 10 adhérents en ordonnées. Sur l'axe des ordonnées, on commencera la graduation à 120.

   ---

2. Un premier ajustement du nuage des points $M_i\left(x_i;y_i\right)$.

   1. On désigne par G₁, le point moyen des trois points M₁, M₂ et M₃ du nuage et par G₂ le point moyen des trois points M₄, M₅ et M₆ du nuage.
      Calculer les coordonnées respectives de G₁ et de G₂ dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

      G₁ est le point moyen des trois points M₁, M₂ et M₃ du nuage alors ses coordonnées sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_{G_1}={\displaystyle \frac{0+1+2}{3}}=1& \text{et}& y_{G_1}={\displaystyle \frac{140+165+220}{3}}=175\end{array}$$

      G₂ est le point moyen des trois points M₄, M₅ et M₆ du nuage alors ses coordonnées sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_{G_2}={\displaystyle \frac{3+4+5}{3}}=4& \text{et}& y_{G_2}={\displaystyle \frac{240+260+310}{3}}=270\end{array}$$

      Les coordonnées de G₁ et de G₂ sont $G_1\left(1;175\right)$ et $G_2\left(4;270\right)$.

      ---

   2. Déterminer l'équation réduite $y=Ax+B$ de la droite (G₁G₂) dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, les coefficients A et B seront donnés sous la forme de fractions irréductibles.
      Tracer la droite (G₁G₂) sur le graphique.

      Soit $y=Ax+B$ l'équation réduite de la droite (G₁G₂). Nous avons :$$\begin{array}{ccc}A={\displaystyle \frac{y_{G_2}-y_{G_1}}{x_{G_2}-x_{G_1}}}& \text{Soit}& A={\displaystyle \frac{270-175}{4-1}}={\displaystyle \frac{95}{3}}\end{array}$$

      $G_1\left(1;175\right)$ est un point de la droite (G₁G₂) d'où :$$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{95}{3}}\left(x-1\right)+175& \iff & y={\displaystyle \frac{95}{3}}x+{\displaystyle \frac{430}{3}}\end{array}$$

      Une équation de la droite (G₁G₂) est $y={\displaystyle \frac{95}{3}}x+{\displaystyle \frac{430}{3}}$

      ---

      ---

   3. En utilisant la droite (G₁G₂) comme droite d'ajustement du nuage, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007.

      Le rang de l'année 2007 est 7 d'où une estimation du nombre d'adhérents de :$${\displaystyle \frac{95}{3}}\times 7+{\displaystyle \frac{430}{3}}=365$$

      Avec cet ajustement, on peut prévoir 365 adhérents en 2007.

      ---

3. Dans cette question, on utilise la droite des moindres carrés.

   1. Soit Δ la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite Δ dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

      Une équation de la droite Δ obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=33x+140$

      ---

   2. En utilisant la droite Δ, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007

      Avec cet ajustement, une estimation du nombre d'adhérents en 2007 est : $$33\times 7+140=371$$

      Avec l'ajustement par la méthode des moindres carrés, on peut prévoir 371 adhérents en 2007.

      ---

4. 1. Si le taux d'augmentation du nombre d'adhérents d'une année à l'autre était fixe et égal à t %, quelle serait la valeur de t arrondie au centième qui donnerait la même augmentation du nombre d'adhérents entre 2000 et 2005 ?

      Soit $x=1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$ le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de t % du nombre d'adhérents d'une année à l'autre.

      Le nombre d'adhérents en 2005 est égal à $140\times x^5$
      d'où x est solution de l'équation $$\begin{array}{lll}140\times x^5=310& \iff & x^5={\displaystyle \frac{310}{140}}\\ & \iff & x={\left({\displaystyle \frac{31}{14}}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}\\ & \text{Soit}& x\approx \mathrm{1,17232}\end{array}$$

      Arrondi au centième, le taux d'augmentation annuel du nombre d'adhérents qui donnerait la même augmentation du nombre d'adhérents entre 2000 et 2005 est de 17,23%.

      ---

   2. Avec ce même taux d'augmentation t, quel serait le nombre d'adhérents, arrondi à l'unité, pour l'année 2007 ?

      Avec ce taux d'augmentation le nombre d'adhérents en 2007 est :$$\begin{array}{ccc}140\times {\mathrm{1,1723}}^7\approx \mathrm{425,99}& \text{ou}& 310\times {\mathrm{1,1723}}^2\approx \mathrm{426,03}\end{array}$$

      Avec une augmentation de 17,23% par an on peut prévoir 426 adhérents en 2007.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.