sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction h définie et dérivable sur $ℝ$ par $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^{2x}-7{\mathrm{e}}^x+6$. On note $h\prime$ sa fonction dérivée.

1. 1. Calculer la limite de la fonction h en $-\infty$.

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{2x}=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ alors $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{2x}-7{\mathrm{e}}^x+6=6$. Donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }h\left(x\right)=6$

      ---

   2. Calculer la limite de la fonction h en $+\infty$.
      (on pourra utiliser l'égalité vraie pour tout réel x : $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\left({\mathrm{e}}^x-7+6{\mathrm{e}}^{-x}\right)$).

      Pour tout réel x : $$\begin{array}{lll}{\mathrm{e}}^{2x}-7{\mathrm{e}}^x+6& =& {\mathrm{e}}^x\left({\mathrm{e}}^x-7+{\displaystyle \frac{6}{{\mathrm{e}}^x}}\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^x\left({\mathrm{e}}^x-7+6{\mathrm{e}}^{-x}\right)\end{array}$$

      $\begin{array}{ccccc}\underset{x\to +\infty }{\lim }x=-\infty & \text{et}& \underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0& \text{alors}& \underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x}=0\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty & & & & \end{array}\}\text{Donc }\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x-7+6{\mathrm{e}}^{-x}=+\infty$

      Par conséquent, par produit $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x\left({\mathrm{e}}^x-7+6{\mathrm{e}}^{-x}\right)=+\infty$. Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)=+\infty$

      ---

2. Calculer $h\left(\ln \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)\right)$, $h\left(0\right)$ puis $h\left(\ln 6\right)$.

   •  $$\begin{array}{llll}h\left(\ln \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)\right)& =& {\mathrm{e}}^{2\ln \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}-7{\mathrm{e}}^{\ln \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}+6& \\ & =& {\mathrm{e}}^{\ln \left({\displaystyle \frac{49}{4}}\right)}-7{\mathrm{e}}^{\ln \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}+6& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & =& {\displaystyle \frac{49}{4}}-7\times {\displaystyle \frac{7}{2}}+6& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif, }{\mathrm{e}}^{\ln a}=a\\ & =& -{\displaystyle \frac{25}{4}}& \end{array}$$

     $h\left(\ln \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)\right)=-{\displaystyle \frac{25}{4}}$

     ---

   •  $$\begin{array}{lll}h\left(0\right)& =& {\mathrm{e}}^{2\times 0}-7{\mathrm{e}}^0+6\\ & =& 1-7+6\\ & =& 0\end{array}$$

     $h\left(0\right)=0$

     ---

   •  $$\begin{array}{lll}h\left(\ln 6\right)& =& {\mathrm{e}}^{2\ln 6}-7{\mathrm{e}}^{\ln 6}+6\\ & =& {\mathrm{e}}^{\ln 36}-7{\mathrm{e}}^{\ln 6}+6\\ & =& 36-7\times 6+6\\ & =& 0\end{array}$$

     $h\left(\ln 6\right)=0$

     ---

3. Déterminer par le calcul l'image $h\prime \left(x\right)$ d'un réel x par la fonction $h\prime$ et étudier les variations de la fonction h.
   Dresser le tableau de variations de la fonction h et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau.

   • Dérivée

     La fonction h est dérivable sur $ℝ$ et $h\prime \left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{2x}-7{\mathrm{e}}^x$

     ---

   • Signe de la dérivée

     Pour tout réel x, $h\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\left(2{\mathrm{e}}^x-7\right)$

     Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$. Donc $h\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(2{\mathrm{e}}^x-7\right)$.

     $$\begin{array}{lllllll}2{\mathrm{e}}^x-7<0& \iff & {\mathrm{e}}^x<{\displaystyle \frac{7}{2}}& \text{et}& 2{\mathrm{e}}^x-7=0& \iff & {\mathrm{e}}^x={\displaystyle \frac{7}{2}}\\ & \iff & x<\ln \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)& & & \iff & x=\ln \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)\end{array}$$

   • Variations de h

     Les variations de la fonction h se déduisent du signe de la dérivée, d'où le tableau des variations de h

     x	$-\infty$	0	$\ln \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$	$\ln 6$	$+\infty$
     Signe de $h\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     Variations de h	6		$-{\displaystyle \frac{25}{4}}$		$+\infty$

   ---

4. En déduire le tableau des signes de la fonction h.

   x	$-\infty$		0		$\ln 6$		$+\infty$
   Signe de $h\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

partie b

On considère les fonctions f et g définies sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=6-6{\mathrm{e}}^{-x}$ et $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-1$.
On note ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$ les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère du plan d'unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
Les courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$ sont données en annexe.

1. Démontrer que le point de coordonnées $\left(\ln 6;5\right)$ est un point d'intersection des courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$.

   $$\begin{array}{lllllll}f\left(\ln 6\right)& =& 6-6{\mathrm{e}}^{-\ln 6}& \text{et}& g\left(\ln 6\right)& =& {\mathrm{e}}^{\ln 6}-1\\ & =& 6-{\displaystyle \frac{6}{{\mathrm{e}}^{\ln 6}}}& & & =& 6-1\\ & =& 6-{\displaystyle \frac{6}{6}}& & & =& 5\\ & =& 5& & & & \end{array}$$

   Les coordonnées du point $\left(\ln 6;5\right)$ vérifient les équations des deux courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$.

   Donc le point de coordonnées $\left(\ln 6;5\right)$ est un point d'intersection des courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$.

   ---

2. 1. Démontrer que, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{h\left(x\right)}{{\mathrm{e}}^x}}$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& 6-6{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^x+1\\ & =& 7-6{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^x\\ & =& -{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x\left({\mathrm{e}}^x-7+6{\mathrm{e}}^{-x}\right)}{{\mathrm{e}}^x}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{h\left(x\right)}{{\mathrm{e}}^x}}$.

      ---

   2. Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$.

      Les positions relatives des courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$ se déduisent de l'étude du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ et $f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{h\left(x\right)}{{\mathrm{e}}^x}}$. Donc $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ et $h\left(x\right)$ sont de signes contraires.

      x	$-\infty$		0		$\ln 6$		$+\infty$
      Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

      On en déduit que :

      • Sur $\left]-\infty ;0\right[\cup \left]\ln 6;+\infty \right[$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)<0$ donc la courbe ${𝒞}_f$ est en dessous de la courbe ${𝒞}_g$.

      • Sur $\left]0;\ln 6\right[$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)>0$ donc la courbe ${𝒞}_f$ est en dessus de la courbe ${𝒞}_g$.

      • Les courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$ se coupent en deux points d'abscisses respectives 0 et $\ln 6$.

      ---

      remarque :

      La formulation de la question : « Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$ » peut conduire à étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ à partir d'un calcul algébrique.

      Pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{h\left(x\right)}{{\mathrm{e}}^x}}={\displaystyle \frac{-{\mathrm{e}}^{2x}+7{\mathrm{e}}^x-6}{{\mathrm{e}}^x}}$

      Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ est du même signe que $-{\mathrm{e}}^{2x}+7{\mathrm{e}}^x-6$

      Pour tout réel x, posons $X={\mathrm{e}}^x$ avec $X>0$ et cherchons une factorisation du polynôme du second degré $-X^2+7X-6$.

      Le discriminant $\mathrm{\Delta }=49-24=25$

      $\mathrm{\Delta }>0$ alors le polynôme admet deux racines $$\begin{array}{ccc}{X}_1={\displaystyle \frac{-7-5}{-2}}=6& \text{et}& X_2={\displaystyle \frac{-7+5}{-2}}=1\end{array}$$

      D'où la factorisation du polynôme $$-X^2+7X-6=-\left(X-1\right)\left(X-6\right)$$

      D'où la factorisation $$-{\mathrm{e}}^{2x}+7{\mathrm{e}}^x-6=-\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left({\mathrm{e}}^x-6\right)$$

      Comme $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^x-1<0\iff x<0& \text{et}& {\mathrm{e}}^x-6<0\iff x<\ln 6\end{array}$$

      D'où le tableau d'étude du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ qui permet de conclure

      x	$-\infty$		0		$\ln 6$		$+\infty$
      ${\mathrm{e}}^x-1$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      ${\mathrm{e}}^x-6$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)-g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left({\mathrm{e}}^x-6\right)}{{\mathrm{e}}^x}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

3. On note D le domaine du plan limité par les courbes ${𝒞}_f$, ${𝒞}_g$ et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=\ln 6$.

   1. Hachurer le domaine D sur le graphique donné en annexe.

   2. Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine D en cm² puis en donner une valeur approchée arrondie au centième.

      Sur l'intervalle $\left]0;\ln 6\right[$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)>0$ donc l'aire du domaine D exprimée en unités d'aire est :$$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^{\ln 6}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_0^{\ln 6}\left(7-6{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {[7x+6{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^x]}_0^{\ln 6}\\ & =& \left(7\ln 6+6{\mathrm{e}}^{-\ln 6}-{\mathrm{e}}^{\ln 6}\right)-\left(7\times 0+6{\mathrm{e}}^{-0}-{\mathrm{e}}^0\right)\\ & =& 7\ln 6+{\displaystyle \frac{6}{6}}-6-6+1\\ & =& 7\ln 6-10\end{array}$$

      L'unité d'aire est l'aire d'un rectangle de 2cm sur 1 cm donc l'unité d'aire est de 2 cm²

      Ainsi, l'aire du domaine D est de $\left(14\ln 6-20\right){cm}^2$. Soit arrondie au centième une aire de 5,08 cm².

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