\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
%\usepackage{graphicx} % inclure le fichier graphique de pondichery 2010
%\usepackage{picins}
%\usepackage{hyperxmp}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{slashbox}
\usepackage {array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
%\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-3dplot}
%\usepackage{ifthen}
%\usepackage{calc}
%\usepackage{esvect}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
%\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
%\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2007 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Polynésie}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Polynésie 2007}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (3 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

\textbf{Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix.}

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.}

\begin{enumerate}
\item  Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 6[$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-0.5)(7,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-0.5)(7,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](6.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{(6-x)*(x^2-3*x+6)/9}
\end{pspicture} \end{center}
Sur l'intervalle $[0; 6[$, la fonction composée $x \longmapsto \ln [f(x)]$ : 
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item  est strictement croissante.
\item  a les mêmes variations que $f$.
\item  a les variations contraires de celles de $f$.
 \end{itemize}
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ;  +\infty[$ par $g(x) = 4x -2 \ln x$.

Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est :
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item  $y = 2x + 2$.
\item  $y= 4x - 2$.
\item  $y=2x+6$.
\end{itemize}
\item  L'ensemble des solutions de l'équation $2 \ln x = \ln (2x + 3)$ est :
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item  l'ensemble vide.
\item  $\{-1 ; 3\}$.
\item  $\{3\}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.

150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que :
\begin{itemize}
\item  la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20\:\% des adultes
\item  27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10\:\% des enfants.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn {1}{c|}	{}&Magie&	Théâtre	&Photo numérique&	Total\\ \hline
Adultes \rule[-3mm]{0pt}{8mm} &&&& \\  \hline	
Enfants \rule[-3mm]{0pt}{8mm} &&&&  \\ \hline	
Total \rule[-3mm]{0pt}{8mm} &&&&	150\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes :

\begin{itemize}
\item  A l'évènement \og la personne appelée est un adulte \fg{};
\item  M l'évènement \og la personne appelée a choisi la magie \fg{};
\item  T l'évènement \og la personne appelée a choisi le théâtre \fg{};
\item  N l'évènement \og la personne appelée a choisi la photo numérique \fg{}.
\end{itemize}
\item  \begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ? 
\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ? 
\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre
\end{enumerate}
\item  Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est $0,32$.
\item 	Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
\item  On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, trois personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie (\emph{on donnera une valeur arrondie au centième}) ?
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives $x$ et $y$ exprimées en tonnes.

Le coût total de production $z$, exprimé en milliers d'euros, est donné par la relation $z=2x^{2}-8x+y^{2}-6y+18$ avec $x\in\left[0 ; 6\right]$ et $y\in\left[0 ; 8\right]$.


\begin{enumerate}
\item  La surface $\mathcal{S}$ représentant le coût en fonction de $x$ et $y$ dans un repère orthogonal $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$ est donnée sur la feuille annexe 1, figure 1.

\begin{center}
\textbf{\textsl{L'annexe $1$ sera rendue complétée avec la copie.}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Le point $A(3 ; 2 ; 3)$ appartient-il à la surface $\mathcal{S}$ ? Justifier. 
\item  Placer sur la figure 1 le point $B$ d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à $\mathcal{S}$.
\item  Soit $y=2$. Exprimer alors $z$ sous la forme $z=f\left(x\right)$ puis donner la nature de la section
de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $y=2$ en justifiant.
\end{enumerate}

\item  La fabrication de $x$ tonnes de savons et de $y$ tonnes des bougies parfumées engendre la contrainte $x + y = 5$.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient $x+y=5$ ?
\item  Vérifier que, sous la contrainte $x+y=5$, $z$ peut s'écrire sous la forme $z=g\left(x\right)$ avec $g(x)=3x^{2}-12x+13$.
\item  Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g$ admet un minimum puis la valeur de $y$ et le coût de production $z$
qui correspondent. On note $C$ le point de la surface $\mathcal{S}$ qui correspond à ce coût minimum.
\item  On donne, sur la feuille annexe 1, figure 2, la projection orthogonale de la surface $\mathcal{S}$ sur le plan
$\left(x\mathrm{O}y\right)$ (\og vue de dessus de la surface $\mathcal{S}$ \fg{}).

Construire sur cette figure 2 la projection orthogonale sur le plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$ des points dont les coordonnées vérifient $x+y=5$.

Placer sur cette figure 2 le point $C_{1}$, projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2)(12.5,9)
\rput(5,8.25){\textsf {\textbf{\textsc{figure 1}}}}
\rput(5,8.75){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 1}}}}
\psset{Beta=30,Alpha=170}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .2 .6}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{C6}{.8 .6 1}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,linecolor=gray,Alpha=110,Beta=-30}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=6,yMax=8,zMax=6,drawing=false]
%plans de base
\psset{xsubticks=6,ysubticks=8}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(6,8)
\psset{xsubticks=6,ysubticks=6}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(6,6)
\psset{xsubticks=8,ysubticks=6}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=6](0,0)(8,6)
% Axes
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,8,0)(6,8,0)
\rput[l](9,-.5){\textbf{\small{$x$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,8,0)
\rput[l](3.5,-1.5){\textbf{\small{$y$}}}
\pstThreeDLine[linewidth=0.75pt,linecolor=black](0,0,0)(0,0,6)
\rput[l](-1,3){\textbf{\small{$z$}}}
% coordonnées
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](\n,8,0)(\n,8,-.1)\pstThreeDPut(\n,8.1,-.2){\footnotesize{\n}}}
\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,\n,0)(0,\n,-.1)\pstThreeDPut(-.1,\n,-0.2){\footnotesize{\n}}}
%z divisé par 10
\psset{unit=.1cm}
\multido{\n=0+10}{7}{\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt,linecolor=black](0,0,\n)(0,-1,\n)\pstThreeDPut(-1,-3 ,\n){\footnotesize{\n}}}
\psset{unit=1cm,linewidth=.75pt,linecolor=C0}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,8){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](0, 6){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](8,0){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](6,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](4.64575,5.4641){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](5.4641, 6){t 41 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt 3 add 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](7.12311,5.64575){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6,4.64575){t 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt 3 add 4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](5.87298,6){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](0,.354249){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6,5.87298){t 3 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt  sub 4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](7.58258,8){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,4.64575){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](4.64575,6){t 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt 3 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](5.64575,.354249){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6,5.87298){t 3 31 t 2 exp 2 mul sub t 8 mul add sqrt  sub 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](5.87298,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,7.58258){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](7.58258,8){2 20 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt sub  t  3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](0.585786,3.41421){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](8,0){20 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt 2 add t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](5.16228,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=70](0,7.58258){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6.31631,7.35889){2 10 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt sub  t  2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](7.35889,0){10 6 t mul add t 2 exp sub .5 mul sqrt 2 add t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.23607,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,7.58258){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=40](4,6){2  3 t mul t 2 exp .5 mul sub sqrt sub  t  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](6,0){2  3 t mul t 2 exp .5 mul sub sqrt add  t  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,2){2  3 t mul t 2 exp .5 mul sub sqrt sub  t  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](2,4){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
}
\psplotThreeD[xPlotpoints=6,yPlotpoints=8,drawStyle=xyLines,linecolor=C0,plotstyle=curve](0,6)(0,8){%
x 2 exp 2 mul y 2 exp add x 8 mul sub y 6 mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](0,8){0  t  t 2 exp 6 t mul sub 18 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](0, 6){t 8 t 2 exp 4 t mul sub 17 add .2 mul }
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=80](8,0){6 t t 2 exp 6 t mul sub 42 add .1 mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=60](6,0){t 0 t 2 exp 4 t mul sub 9 add .2 mul}
% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C6](11,1.5)(11.4,1.9) \rput[l](11.6,1.7){\footnotesize{0 - 10}}
\psframe[fillcolor=C5](11,2.2)(11.4,2.6) \rput[l](11.6,2.4){\footnotesize{10 - 20}}
\psframe[fillcolor=C4](11,2.9)(11.4,3.3) \rput[l](11.6,3.1){\footnotesize{20 - 30}}
\psframe[fillcolor=C3](11,3.6)(11.4,4) \rput[l](11.6,3.8){\footnotesize{30 - 40}}
\psframe[fillcolor=C2](11,4.3)(11.4,4.7) \rput[l](11.6,4.5){\footnotesize{40 - 50}}
\psframe[fillcolor=C1](11,5)(11.4,5.4) \rput[l](11.6,5.2){\footnotesize{50 - 60}}
\end{pspicture*}
\medskip
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-1)(10.5,7.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{C0}{.25 .29 .48 }
\newrgbcolor{C1}{.4 .2 .6}
\newrgbcolor{C2}{.6 .8 1}
\newrgbcolor{C3} {1 .96 0.76}
\newrgbcolor{C4}{.6 .6 .9}
\newrgbcolor{C5}{.88 .95 0.68}
\newrgbcolor{C6}{.8 .6 1}
\rput(5,7){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 1}}}}
\rput(5,6.4){\textsf {\textbf{\textsc{figure 2}}}}

\psset{linewidth=0.75pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C1](0,0)(8,6)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50]{8}{7.12311}{2+(.5*(40+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(7.12311,6)(0,6)(0,0)(8,0)(8,5.4641)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{8}{5.64575}{2+(.5*(30+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(5.64575,6)(.354249,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{.354249}{0}{2+(.5*(30+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(0,0)(8,0)(8,4.64575)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{7.58258}{8}{2-(.5*(20+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(8,.585786)(8,3.41421)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{8}{0}{2+(.5*(20+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(0,0)(7.58258,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{6.31631}{7.35889}{2-(.5*(10+6*x-x^2))^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{7.35889}{0}{2+(.5*(10+6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(0,0)(6.31631,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{4}{6}{2-(.5*(6*x-x^2))^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{6}{0}{2+(.5*(6*x-x^2))^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{0}{2}{2-(.5*(6*x-x^2))^.5}
\psline{-}(2,0)(4,0)
}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=C0,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yAxis=false]{-}(0,0)(8.1,0)
\psaxes[labelsep=-3.6mm,linewidth=.75pt,yticksize=-2pt 2pt,xAxis=false]{-}(8,0)(8,6)
\uput[d](4,-.25){$y$} \uput[r](8.25,3){$x$}
\psset{unit=1cm}

% Légende
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid,linecolor=C0}
\psframe[fillcolor=C6](11,1.5)(11.4,1.9) \rput[l](11.6,1.7){\footnotesize{0 - 10}}
\psframe[fillcolor=C5](11,2.2)(11.4,2.6) \rput[l](11.6,2.4){\footnotesize{10 - 20}}
\psframe[fillcolor=C4](11,2.9)(11.4,3.3) \rput[l](11.6,3.1){\footnotesize{20 - 30}}
\psframe[fillcolor=C3](11,3.6)(11.4,4) \rput[l](11.6,3.8){\footnotesize{30 - 40}}
\psframe[fillcolor=C2](11,4.3)(11.4,4.7) \rput[l](11.6,4.5){\footnotesize{40 - 50}}
\psframe[fillcolor=C1](11,5)(11.4,5.4) \rput[l](11.6,5.2){\footnotesize{50 - 60}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne l'évolution du montant des ventes d'appareils photos numériques en France, en milliers d'euros, entre 1999 et 2004.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&	1999&	2000&	 2001&	2002&	2003&	2004\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$&1&	2&	3&	4&	5&	6\\ \hline
Montant des ventes $y_{i}$&179&	332&	584& 1092 &	2675 & 4164 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'augmentation, en pourcentage, du montant des ventes entre 1999 et 2000 puis entre 2000 et 2001. On exprimera ces pourcentages par un nombre entier en effectuant un arrondi.

Peut-on additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001 ? Justifier.
\item  La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose : $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  Présenter la série statistique $\left(x_{i}~ ;~ z_{i}\right)$ dans un tableau en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au centième.
\item  Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième.
\item  En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l'année 2008, arrondie au millier d'euros.
 \end{enumerate}
\item 	Du fait de l'apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes, avec un montant de 5027 milliers d'euros en 2005 puis une diminution de 10\:\%  en 2006.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d'euros, pour 2006.
\item  En supposant qu'après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10\:\%
par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008 ? (On arrondira le montant au millier d'euros)
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 7 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ centaines d'appareils par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0  ; + \infty[$ par  $f(x) = - 2x + \left(\e^2 - 1\right)\ln x + 2$.

La courbe de la fonction $f$ est donnée sur la figure ci-dessous :
 
 \begin{center}
 \psset{unit=1cm}
 \begin{pspicture}(-1,-3)(10,4) 
 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2-2*x+6.389*ln(x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{7.389}{\f} \gsave
\psline(7.389,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(10,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-1,-3)(10,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{7.389}{\f} \gsave
\psline(7.389,0)(0,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=.5pt,hatchsep=6pt] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.54}{9.8}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.1945,3.05)(4.1945,3.05) 
 \psline[linestyle=dashed,linewidth=.75pt, linecolor=prune](3.1945,0)(3.1945,3)

  \end{pspicture}
  \end{center}
\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que $f(1) = 0$ et $f\left(\e^2\right) = 0$.
\item  \`A l'aide du graphique, déterminer approximativement :
\begin{enumerate}
\item  le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ; 
\item  les valeurs de $x$ pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul,
\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
\item  Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
\item  \'Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$.
\item  En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultat sera arrondi à l'unité).
\end{enumerate}
\item 	Parmi les courbes données en annexe, une seule correspond à celle d'une primitive de $f$. Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de $f(x)$).
\item 	En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure ci-dessus.
\item 	\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0  ; + \infty[$ par {$F(x) = -x^2 + \left(3 - \e^2\right)x + \left(\e^2 - 1\right)x\ln x$} est une primitive de  $f$.
\item Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle o\`u ce bénéfice est positif ou nul.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\multicolumn {2}{c}{\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}\\
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(10,5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{6.389/x-2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-5)(10,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(10,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,4.6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-3}{-2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{.9}{10}{\f}
\end{pspicture*}

Courbe de $F_{1}$
& 
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-4)(13,10)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-4)(13,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-4)(13,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](12.6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,9.6){\footnotesize{$y$}}
\def\f{x*(6.389*ln(x)-x-4.389)+2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{.001}{12}{\f}
\end{pspicture*} 

Courbe de $F_{2}$\\

\end{tabularx}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(10,10)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(10,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,9.6){\footnotesize{$y$}}
\def\f{7.2*x-6*ln(x)-.6*x^2-4}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{.11}{9.3}{\f}
\end{pspicture*}

Courbe de $F_{3}$
\end{center}

       
\end{document}