Baccalauréat Avril 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 0+ par fx=5lnxx+3.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

    1. Déterminer la limite de f en 0 ; en donner une interprétation graphique.

    2. Déterminer la limite de f en + ∞ ; en donner une interprétation graphique.

      D'après le cours, limx+lnxx=0.

    1. Calculer fxf est la fonction dérivée de f, puis étudier son signe.

    2. En déduire le tableau de variation de la fonction f . On y indiquera les limites aux bornes de l'intervalle de définition de f ainsi que la valeur exacte de fe.

    1. Déterminer une primitive de f sur 0+.
      On pourra remarquer que fx=5ux×ux+3 avec ux à préciser.

    2. En déduire la valeur exacte de I=24ftdt sous la forme aln22+b avec a et b deux réels à déterminer.

    1. Préciser le signe de f sur l'intervalle 24.

    2. Donner une interprétation graphique de I.

      lien entre l'intégrale et aire

      Soit a et b deux réels tels que ab, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O;ı ,ȷ ) .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle [a;b]   f x 0 ,
      alors a b f x dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞 , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.

  1. On admet que le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique x milliers de pièces est égal à fx.
    En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2 000 et 4 000 pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.

    définition

    Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que a<b .
    On appelle valeur moyenne de la fonction f sur ab , le nombre : μ= 1b-a ab fx dx


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