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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2007 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Pondichery}}}}} %centre
%pied de page
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\lfoot{Pondichery 2007}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Dans cet exercice, on ne demande aucune justification.}

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. Une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans cette partie, pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et préciser en toutes lettres, sans justifier votre choix, VRAI ou FAUX ou ON NE PEUT PAS RéPONDRE.

\medskip

On connaît le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathcal{D}_{f} = ]- \infty ; 1[ \cup ]1 ; + \infty[$  

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16,3) \psline(2,0)(2,3)\psline(0,2.2)(16,2.2)\psline(6.9,0)(6.9,2.2) \psline(7.1,0)(7.1,2.2) 
\rput(1,2.6){$x$}\rput(2.5,2.6){$- \infty$} \rput(7,2.6){1} \rput(11.5,2.6){3}\rput(15.5,2.6){$+ \infty$}
\rput(1,1.1){$f(x)$} \rput(2.5,0.4){\rnode{A}{$-2$}} \rput(6.5,1.8){\rnode{B}{$+ \infty$}}\rput(7.5,0.4){\rnode{C}{$- \infty$}}  \rput(11.5,1.8){\rnode{D}{5}} \rput(15.5,.4){\rnode{E}{1}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{C}{D}\ncline{D}{E}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La droite d'équation $x =  -2$ est asymptote à la représentation graphique de $f$.
\item  L'équation $f(x) =  2$ admet exactement deux solutions dans $\mathcal{D}_{f}$.
\item  Pour tout $x$ appartenant à $]1 ; 3 [$, $ f'(x) > 0$  ($f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$).
\item  Toute primitive de $f$ sur [3 ; 8] est décroissante.
\item  La fonction $x \mapsto  \dfrac{1}{f(x)}$		est décroissante sur $[3 ;  + \infty[$
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans cette partie, pour chaque question, trois propositions sont formulées. Une seule d'entre elles convient. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la proposition qui vous semble exacte, sans justifier votre choix.

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{2\e^x}{\e^x - 1}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
\begin{enumerate}
\item  L'ensemble de définition $D_{g}$ de $g$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
a)\quad  $]0~ ;~+\infty[$ & b)\quad  $\R- \{0\}$ & c)\quad  $\R- \{1\}$\\
\end{tabularx}

\item L'équation $g(x) = 3$ admet pour solution :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
a)\quad  $\e^3$ & b)\quad  $\ln 3$ & c)\quad  Aucune solution\\
\end{tabularx}

\item La limite de $g$ en $+\infty $ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
a)\quad  $- 1$ & b)\quad  $+ \infty$ & c)\quad  $2$\\
\end{tabularx}
 
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Une entreprise de services d'une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années.

Le rang $x_{1} = 	1$ est donné pour l'année 1998. La consommation est exprimée en milliers d'euros.

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	Année&	1998&	2000&	2001&	2002&	2004\\ \hline
	Rang de l'année $x_{i}$&	1&	3	&4	&5 	&7\\ \hline
Consommation en milliers d'euros $y_{i}$	&28,5&	35&	52	&70,5 &	100,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Représenter le nuage de points $P_{i}(x_{i} ;   y_{i})$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1~cm comme unité en abscisses et 1~cm pour 10~000~\euro{} en ordonnées).
\item 	Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage; le placer dans le repère précédent.

\item 	On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite $D$ d'équation $y = 12,5x+b$ qui passe par le point $G$. 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la valeur de $b$. 
\item  Tracer la droite $D$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}
\item 	Déterminer, à l'aide de l'ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005.
\item 	En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de $y_{8} =  140\,000$ \euro.

Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l'aide d'un nombre entier en effectuant un arrondi).
\item  Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté.
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant sachant que $z = \ln y$. Les résultats seront arrondis au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&1&	3	& 4	&5	& 7 &	8\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &	3,35& \ldots& \ldots & \ldots & \ldots &4,94\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item 	Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; cette équation est de la forme $z =  cx + d$ ; on donnera les arrondis des coefficients $c$ et $d$  à $10^{-2}$.
\item   En déduire que : $y =  20,49\e^{0,23x}$.
\item 	Estimer alors, à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 \euro{} près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Madame Boulard fait un très grand élevage de chats de races. Elle possède des Siamois, des Birmans et des Abyssins. Le printemps dernier, pratiquement toutes ses femelles ont eu des bébés et Madame Boulard a mis une annonce pour signaler qu'elle avait une très grande quantité de petits chatons à vendre.

On sait que :
\begin{itemize}
\item 32\:\% des chatons sont des Siamois, 54\:\% des chatons sont des Abyssins et le reste est
constitué de Birmans.
\item Parmi les Siamois, 54\:\% sont des mâles.
\item 66\:\% des Abyssins sont des femelles.
\item Il y a au total 40,96\:\% de chatons mâles.
 \end{itemize}
 
\medskip

Un petit garçon, Pierre, vient acheter un chaton avec sa mère. Comme ils sont tous adorables et qu'il n'arrive pas à choisir, Pierre décide de le prendre au hasard.
On désigne par S, B, A, M et F les évènements suivants :
\begin{itemize}
	\item [] S : \og Pierre achète un chaton Siamois \fg ;
	 \item [] B : \og Pierre achète un chaton Birman \fg ;
 \item [] A : \og Pierre achète un chaton Abyssin \fg ;
 \item [] M : \og Pierre achète un chaton mâle \fg ;
 \item [] F : \og Pierre achète un chaton femelle \fg .
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Traduire les données de l'énoncé en langage de probabilités.
\item 	Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur chaque branche les probabilités données dans l'énoncé. Les probabilités manquantes seront calculées dans les questions ultérieures.
 \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois,
\item 	Calculer $p(\mathrm{M} \cap \mathrm{A})$ et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.
\item 	En déduire que la probabilité que Pierre achète un chaton m\^{a}le Birman est égale à 0,0532.
\item 	Le chaton acheté par Pierre est un Birman. Quelle est la probabilité que ce soit un mâle ?
\end{enumerate}
\item Finalement, Pierre est tellement séduit par ces chatons qu'il décide d'en acheter trois
toujours au hasard. On assimilera ces achats à des tirages successifs avec remise.

Quelle est la probabilité qu'il y ait, parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans (\emph{le résultat sera arrondi à} $10^{-3}$)?
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ;   + \infty[$ par $f(x) = 5 \dfrac{\ln x}{x} 	+ 3$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en 0 ; en donner une interprétation graphique.
\item 	Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ; en donner une interprétation graphique.
 \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$, puis étudier son signe.
\item 	En déduire le tableau de variation de la fonction $f$. On y indiquera les limites aux bornes de l'intervalle de définition de $f$ ainsi que la valeur exacte de $f(\e)$.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de $f$ sur $]0 ;   + \infty[$.

On pourra remarquer que $f(x) = 5u'(x)\times u(x) + 3$ avec $u(x)$ à préciser.

\item  En déduire la valeur exacte de $\mathrm{I} = \displaystyle\int_{2}^4 f(t) \dd t$ sous la forme $a(\ln 2)^2+b$ avec $a$ et $b$ deux réels à déterminer.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Préciser le signe de $f$ sur l'intervalle $[2 ; 4]$.
\item  Donner une interprétation graphique de I.
 \end{enumerate}
\item   On admet que le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise lorsqu'elle
fabrique $x$ milliers de pièces est égal à $f(x)$.

En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2000 et 4000 pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.

\end{enumerate}
       
\end{document}