Baccalauréat septembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : france métropolitaine

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie i :

Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.

    L'ordre d'un graphe est le nombre de ses sommets. Le degré d'un sommet est égal au nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité.

  2. Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre réponse.

    Parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue revient à chercher une chaîne eulérienne.Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2.

partie ii :

Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues.

Graphe orienté : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Écrire la matrice M associée à ce graphe.
    (On rangera les sommets dans l'ordre alphabétique).

    Dans la matrice associée à un graphe orienté, poser aij=1, est équivalent à dire que les sommets Si et Sj sont reliés par une arête orientée d'origine Si et d'extremité Sj.

    1. Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B ?

    2. Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice M ?

      Le terme aij situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j de la matrice M2 donne le nombre de chaînes de longueur 2 reliant le sommet Si au sommet Sj.


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