Baccalauréat septembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet commun : france métropolitaine et La Réunion

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Jean s'amuse régulièrement sur un terrain de football avec le gardien de but. Chaque partie consiste à tirer successivement deux tirs au but.

Au vu des résultats obtenus au cours de l'année, on admet que :

la probabilité que Jean réussisse le premier tir au but est égal à 0,8 ;
s'il réussit le premier, alors la probabilité de réussir le second est 0,7 ;
s'il manque le premier, alors la probabilité de réussir le second est 0,5.

On note :

$R_{1}$ l'évènement : « le premier tir au but est réussi » et $\bar{R_{1}}$ son évènement contraire.
$R_{2}$ l'évènement : « le second tir au but est réussi » et $\bar{R_{2}}$ son évènement contraire.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
- la probabilité que Jean réussisse le premier tir au but est égal à 0,8 alors $p (R_{1}) = 0,8$ et $p (\bar{R_{1}}) = 1 - 0,8 = 0,2$
- s'il réussit le premier, alors la probabilité de réussir le second est 0,7 alors $p_{R_{1}} (R_{2}) = 0,7$ et $p_{R_{1}} (\bar{R_{2}}) = 1 - 0,7 = 0,3$
- s'il manque le premier, alors la probabilité de réussir le second est 0,5 alors $p_{\bar{R_{1}}} (R_{2}) = 0,5$ et $p_{\bar{R_{1}}} (\bar{R_{2}}) = 1 - 0,5 = 0,5$
D'où l'arbre pondéré qui représente la situation :
Calculer la probabilité que les deux tirs au but soient réussis.
$\begin{array}{l} p (R_{1} \cap R_{2}) & = & p_{R_{1}} (R_{2}) \times p (R_{1}) \\ = & 0,7 \times 0,8 \\ = & 0,56 \end{array}$
La probabilité que les deux tirs au but soient réussis est égale à 0,56.
1. Calculer la probabilité que le second tir au but soit réussi.
  $R_{1}$ et $R_{2}$ sont deux évènements relatifs à une même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $\begin{array}{l} p (R_{2}) & = & p (R_{1} \cap R_{2}) + p (\bar{R_{1}} \cap R_{2}) \\ = & 0,56 + p_{\bar{R_{1}}} (R_{2}) \times p (\bar{R_{1}}) \\ = & 0,56 + 0,5 \times 0,2 \\ = & 0,66 \end{array}$
  La probabilité que le second tir au but soit réussi est égale à 0,66.
2. Les évènements $R_{1}$ et $R_{2}$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
  $p_{R_{1}} (R_{2}) \neq p (R_{2})$ donc les évènements $R_{1}$ et $R_{2}$ ne sont pas indépendants.
On note A l'évènement : « Jean a réussi exactement un tir au but ». Montrer que $p (A) = 0,34$ .
$\begin{array}{l} p (A) & = & p (R_{1} \cap \bar{R_{2}}) + p (\bar{R_{1}} \cap R_{2}) \\ = & p_{R_{1}} (\bar{R_{2}}) \times p (R_{1}) + 0,1 \\ = & 0,3 \times 0,8 + 0,1 \\ = & 0,34 \end{array}$
La probabilité que Jean réussisse exactement un tir au but est égale à 0,34.

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