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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2007 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet France Métropolitaine, La Réunion}}\\(Deuxième session)}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{France Métropolitaine, La Réunion 2007\\(Deuxième session)}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

\textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.}

\medskip 
 
Une fonction $f$ est définie et dérivable sur l'ensemble $]-6~;~ -3[ \cup ] -3~ ;~ +\infty[$. Le tableau de variations de la fonction  $f$ est le suivant :

\medskip


 \begin{center}
	\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(17,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(17,3) \psline(2.5,0)(2.5,3) \psline(0,2.2)(17,2.2)\psline(9.65,0)(9.65,2.2) \psline(9.85,0)(9.85,2.2)
\rput(1.25,2.6){$x$} \rput(3,2.6){$- 6$}\rput(6.125,2.6){$-4$}  \rput(7.6875,2.6){$-3,5$} \rput(9.75,2.6){$-3$} \rput(13.375,2.6){$2$} \rput(16.5,2.6){$+ \infty$} 
\rput(1.25,1.5){Variations} \rput(1.25,0.7){de $f$}\rput(3,.4){\rnode{A}{$7$}} \rput(6.125,1.8){\rnode{B}{$8$}} \rput(9.25,.4){\rnode{C}{$- \infty$}} 
\rput(10.25,1.8){\rnode{D}{$+ \infty$}} \rput(13.375,.4){\rnode{E}{$3$}} \rput(16.5,1.8){\rnode{F}{$5$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncput*{0} \ncline{D}{E} \ncline{E}{F}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item  On peut affirmer que : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse a :}}}} $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x) = +\infty$.& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse b :}}}} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 5$\\
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse c :}}}} $\displaystyle\lim_{x \to -6} f(x) = - \infty$.& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse d :}}}} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to -3\\ x < -3}} f(x) = 0$.\\
\end{tabularx}
\item  La courbe représentative de $f$ admet pour asymptotes les droites d'équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse a :}}}} $x =5$ et $y = -3$ & \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse b :}}}} $x = -3$ et $y = 5$.\\
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse c :}}}} $y =  8$ et $y =3$	& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse d :}}}}: $x = -6$ et $y = 5$.\\
\end{tabularx}
\item  Dans l'ensemble $]-6 ;  -3[ \cup ] -3~ ;~ +\infty[$ l'équation $f(x) = 4$ admet

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse a :}}}} $0$ solution	& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse b :}}}} $1$ solution\\
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse c :}}}} $2$ solutions	& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse d :}}}} $3$ solutions\\
\end{tabularx}
\item  On considère le nombre réel $I = \displaystyle\int_{2}^4 f(x) \:\text{d}x$. On peut affirmer que :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse a :}}}} $0 \leqslant I \leqslant 3$ & \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse b :}}}} $6\leqslant I \leqslant 10$\\
\textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse c :}}}} $3 \leqslant I \leqslant 6$		& \textsf {\small{\textbf{\textsc{réponse d :}}}} $I \geqslant 10$.\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 
Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes civils de solidarité (PACS) signés chaque année en France :\\


\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années												&	2000&	2001	&2002	&2003	&2004\\ \hline
Rang de l'année, $x_{i}$							&	0	&1	&2	&3	&4\\ \hline
Nombres de PACS en milliers, $y_{i}$	&	22,1	&19,4&	25&	31,1&	39,6\\ \hline
 \multicolumn {6}{r}{\scriptsize{\textsf{Source INSEE.}}} \\
\end{tabularx}


\begin{enumerate}
\item Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité entre 2000 et 2004.
\item  	\textsf{\textsc{on envisage un ajustement affine}}
\begin{enumerate}
\item à l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$. Par la suite, on pose $f(x) = ax + b$.
\item 	En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007.
\end{enumerate}
\item  \textsf{\textsc{on envisage un autre type d'ajustement}}

On modélise le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés durant l'année $2000+x$ 	($x$ entier) à l'aide de la fonction $g$ définie par 	$g(x) = 1,6x^2 -1,8x+ 21,4$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007.
\item 	On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèlejusqu'en 2015.
	Le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à 100~000 ? Justifier.
\end{enumerate}
\item  	\textsf{\textsc{comparaison des deux ajustements}}

	Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les 	valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun des deux ajustements.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&	0&1&2&	3&4\\  \hline
$\left[(y_{i} - f(x_{i})\right]^2$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 16 & 11,36 & 5,95 & 1,02 & 7,95\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&0&1&2&	3&4\\  \hline
$\left[(y_{i} - g(x_{i})\right]^2$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 0,49 & & & & \\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
 \begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième. 
\item Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie i}}}}

\medskip

Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les ar\^etes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE
\psline(1.6,1.2)(0,0)%ED
\psline(3.9,2.9)(3.9,1.2)(8,0)%BCF
\uput[u](1.6,2.9){\textsf{\small{\bleu {A}}}} \uput[u](3.9,2.9){\textsf{\small{\bleu {B}}}} \uput[d](3.9,1.2){\textsf{\small{\bleu {C}}}} \uput[d](1.6,1.2){\textsf{\small{\bleu {D}}}} \uput[dl](0,0){\textsf{\small{\bleu {E}}}} \uput[dr](8,0){\textsf{\small{\bleu {F}}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.
\item Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie ii}}}}

\medskip

Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues.

\begin{center}

\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\psset{arrowsize=2pt 3}
\pnode(1.6,2.9){A} \pnode(3.9,2.9){B} \pnode(3.9,1.2){C} 
\pnode(1.6,1.2){D} \pnode(0,0){E} \pnode(8,0){F}
\pnode(2.75,2.9){G}\ncline{->}{A}{G}\ncline{G}{B}
\pnode(5.95,1.45){H}\ncline{->}{B}{H}\ncline{H}{F}
\pnode(5.95,0.6){I}\ncline{->}{F}{I}\ncline{I}{C}
\pnode(3.9,2.05){J} \ncline{->}{C}{J}\ncline{J}{B}
\pnode(2.75,2.05){K}\ncline{->}{C}{K}\ncline{K}{A}
\pnode(1.6,2.05){L}\ncline{->}{D}{L}\ncline{L}{A}
\pnode(2.75,1.2){M}\ncline{->}{D}{M}\ncline{M}{C}
\pnode(0.8,0.6){N}\ncline{->}{E}{N}  \ncline{N}{D}
\pnode(0.8,1.45){O}\ncline{->}{A}{O}\ncline{O}{E}
\pnode(4,0){P}\ncline{->}{F}{P}\ncline{P}{E}
\uput[u](1.6,2.9){\textsf{\small{\bleu {A}}}} \uput[u](3.9,2.9){\textsf{\small{\bleu {B}}}} \uput[d](3.9,1.2){\textsf{\small{\bleu {C}}}} \uput[d](1.6,1.2){\textsf{\small{\bleu {D}}}} \uput[dl](0,0){\textsf{\small{\bleu {E}}}} \uput[dr](8,0){\textsf{\small{\bleu {F}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe. (On rangera les sommets dans l'ordre alphabétique).
\item \begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B ?
\item  Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice $M$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 7 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
La courbe ($\mathcal{C}$) donnée en ANNEXE, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $R$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

Les points $A (3 ; \e)$ et $B (4 ; 2 )$ appartiennent à cette courbe.

La tangente à la courbe en $A$ est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente $(T)$ à la courbe en $B$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 6.

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie i :} lecture graphique}}

\medskip

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier.
\begin{enumerate}
\item  Pour quelles valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle $[3 ; 10]$ a-t-on $f(x) \leqslant  2$ ?
\item  Déterminer $f'(3)$ et $f'(4)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textsc{\textbf{partie  ii :} étude de la fonction}}

\medskip

La fonction $f$ représentée dans l'ANNEXE, est la fonction définie sur l'intervalle $[0 ;  + \infty[$ par : \[f(x) =(x - 2) \e^{ (-x + 4)}\]

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$. Donner la valeur décimale arrondie à l'unité.
\item  On donne $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) =0$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.
\end{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0 ;  +\infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=(3-x) \e^{(-x+4)}$.
\item  Sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item   On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ par $g(x) =  (1- x) \e^{(-x + 4)}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ;  +~\infty[$.

En déduire la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle $[2 ; 10]$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au millième.

\textsf {\textsc{\textbf{rappel :}}} Soit $f$ une fonction et $[a   ;  b]$ un intervalle sur lequel $f$ est définie et dérivable.

La valeur moyenne $m$ de $f$ sur un l'intervalle $[a   ;  b]$ est le nombre $m$ tel que $ m = \dfrac{1}{b -a} \times \displaystyle\int_{a}^b f(x)\dd x$.

 \end{enumerate}

\medskip 

\textsf {\textsc{\textbf{partie  iii :} étude d'un bénéfice}}

\medskip

Une entreprise vend $x$ centaines de litres de parfum par jour $1,8 \leqslant  x \leqslant 4,5$.

Le bénéfice en milliers d'euros réalisé, par jour, par l'entreprise lorsqu'elle vend $x$ centaines de litres est donné par $f(x)$ pour $x \in [1,8 ; 4,5]$. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l'entreprise vend au moins 180 litres et au plus 450 litres.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 400 litres (soit 4 centaines de litres). 
\item  Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal.

	Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à 1 \euro). 
\item  \`A partir de quelle quantité journalière l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-6)(15,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(7,6.5){\textsf {\textsc{\textbf{annexe}}}}
\def\f{(x-2)*Euler^(4-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1,-7)(15,6)
\psset{unit=1.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.6666667,-4.6667)(10,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.9,0){$x$} \uput[l](0,3.9){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.333,2.71828)(3.6667,2.71828)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1.58}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2,4)(10,-4)
\psdots[dotstyle=*, linecolor=prune,dotscale=.8](3,2.71828)(4,2)
\uput[r](9.3,0.2){\bleu $(\mathcal{C})$}
\uput[u](3,2.7){\bleu $A$}\uput[r](4,2){\bleu $B$}
\uput[r](8,-2){\prune $(T)$}
\end{pspicture}
\end{center}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\medskip
Jean s'amuse régulièrement sur un terrain de football avec le gardien de but. Chaque partie consiste à tirer successivement deux tirs au but.

Au vu des résultats obtenus au cours de l'année, on admet que :

\begin{itemize}
\item  la probabilité que Jean réussisse le premier tir au but est égal à $0,8$ ;
\item  s'il réussit le premier, alors la probabilité de réussir le second est $0,7$ ;
\item  s'il manque le premier, alors la probabilité de réussir le second est $0,5$.
\end{itemize}

\medskip
   
On note $R_{1}$ l'évènement: \og le premier tir au but est réussi \fg{} et $\overline{R}_1$ son évènement contraire, $R_{2}$ l'évènement: \og le second tir au but est réussi \fg{} et $\overline{R}_2$ son évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item  Calculer la probabilité que les deux tirs au but soient réussis.
\item  \begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que le second tir au but soit réussi.
\item Les évènements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
 \end{enumerate}
\item On note $A$ l'évènement : \og Jean a réussi exactement un tir au but \fg.  Montrer que $p (A) = 0,34$.
\end{enumerate}


        
\end{document}