sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\left(8x+6\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}$.
On admet que la dérivée $f\prime$ de f est donnée pour tout x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{6,4}x+\mathrm{3,2}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}$.

1. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$. Donner une interprétation graphique de cette limite.

   Pour tout réel x, $$\left(8x+6\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}={\displaystyle \frac{8x}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}x}}}+{\displaystyle \frac{6}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}x}}}$$

   Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{8x}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}x}}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{6}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}x}}}=0$. Donc par somme, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{8x}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}x}}}+{\displaystyle \frac{6}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}x}}}=0$

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ alors la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote l'axe des abscisses en $+\infty$.

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2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. Dresser son tableau de variation.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée. Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{6,4}x+\mathrm{3,2}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}$ .

   Or pour tout réel x, $$\begin{array}{lllllll}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}>0& \text{et}& -\mathrm{6,4}x+\mathrm{3,2}>0& \iff & -\mathrm{6,4}x>-\mathrm{3,2}& \iff & x<\mathrm{0,5}\end{array}$$

   D'où le tableau donnant le signe de $f\prime$ et les variations de f :

   x	0		0,5		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	6		$10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}}$		0

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3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=1$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ et donner un encadrement de α d'amplitude 10^{− 1}

   Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;\mathrm{0,5}\right]$, $f\left(x\right)⩾6$. Donc l'équation $f\left(x\right)=1$ n'admet pas de solution sur l'intervalle $\left[0;\mathrm{0,5}\right]$

   Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$ , la fonction f est continue, strictement décroissante et $0<1<10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}}$. Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$., l'équation $f\left(x\right)=1$ admet une solution unique $\alpha \in \left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

   À l'aide de la calculatrice, par encadrements successifs, déterminons un encadrement de α d'amplitude 10^{− 1} :

   • $f\left(4\right)\approx \mathrm{1,549}$ et $f\left(5\right)\approx \mathrm{0,843}$ donc $4<\alpha <5$
   • $f\left(\mathrm{4,7}\right)\approx \mathrm{1,015}$ et $f\left(\mathrm{4,8}\right)\approx \mathrm{0,954}$ donc $\mathrm{4,7}<\alpha <\mathrm{4,8}$

   ---

   L'équation $f\left(x\right)=1$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ avec $\mathrm{4,7}<\alpha <\mathrm{4,8}$.

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4. Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=-10\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}$ est une primitive de la fonction f.

   Dire que F est une primitive sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ de la fonction f signifie que pour tout réel x appartennant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   $F=-10uv$ d'où $F\prime =-10\left(u\prime v+uv\prime \right)$ avec pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$,$\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x+2& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}\end{array}$

   Soit pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& -10\times \left[1\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x+2\right)\times \left(-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}\right)\right]\\ & =& -10\times \left(1-\mathrm{0,8}x-\mathrm{1,6}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}\\ & =& \left(8x+6\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}x}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x appartennant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f.

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partie b

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

L'objet de cette partie est d'étudier les ventes d'un nouveau baladeur numérique. On considère que le nombre de baladeurs numériques vendus par un fabricant à partir du début des ventes jusqu'au temps t est donné par $$B\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$ Le temps t est exprimé en année, le début des ventes (correspondant à $t=0$) étant le 1^er janvier 2000. Le nombre de baladeurs numériques est exprimé en centaines de milliers.

À l'aide de la partie A, décrire l'évolution du rythme des ventes au cours des années.
En quelle année le nombre de baladeurs vendus dans le courant de l'année est-il devenu inférieur à 100 000 ?

• Pour $t⩾1$ , le nombre de centaines de milliers de baladeurs numériques vendus par le fabricant pendant l'année 1999 + t est : $$\begin{array}{lll}B\left(t\right)-B\left(t-1\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(x\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^{t-1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \iff & B\left(t\right)-B\left(t-1\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(x\right)\mathrm{d}x}+{\displaystyle {\int }_{t-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & \iff & B\left(t\right)-B\left(t-1\right)={\displaystyle {\int }_{t-1}^{t}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & \iff & B\left(t\right)-B\left(t-1\right)=F\left(t\right)-F\left(t-1\right)\end{array}$$

  Pour étudier l'évolution du rythme des ventes, on considère la fonction R définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par $R\left(t\right)=F\left(t\right)-F\left(t-1\right)$ où $R\left(t\right)$ est le nombre de centaines de milliers de baladeurs numériques vendus par le fabricant pendant l'année 1999 + t.
  Nous avons, $R\prime \left(t\right)=f\left(t\right)-f\left(t-1\right)$. Or d'après les variations de la fonction f, sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$ , la fonction f est strictement décroissante.

  Par conséquent, si $t-1⩾\mathrm{0,5}\iff t⩾\mathrm{1,5}$ alors $f\left(t\right)-f\left(t-1\right)<0$ . Donc la fonction R est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[\mathrm{1,5};+\infty \right[$ . Comme d'autre part, $R\left(1\right)\approx \mathrm{6,5}$ et $R\left(2\right)\approx \mathrm{5,4}$ :

  le nombre de baladeurs vendus chaque année va diminuer.

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• Le nombre de centaines de milliers de baladeurs numériques vendus par le fabricant pendant l'année 1999 + t est $$\begin{array}{lll}R\left(t\right)=F\left(t\right)-F\left(t-1\right)& \iff & R\left(t\right)=-10\left(t+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}+10\left(t+1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t+\mathrm{0,8}}\\ & \iff & R\left(t\right)=10\left[\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}}-1\right)t+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}}-2\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}\end{array}$$

  Le nombre de baladeurs vendus dans le courant de l'année 1999 + t est devenu inférieur à 100 000 pour le plus petit entier t solution de l'inéquation $$\begin{array}{lll}R\left(t\right)<1& \iff & 10\left[\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}}-1\right)t+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}}-2\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}<1\end{array}$$

  Le tableau de valeurs de la fonction R obtenu à l'aide de la calculatrice, nous permet de conclure

  Année	2001	2002	2003	2004	2005
  t	2	3	4	5	6
  $R\left(t\right)$	5,4	3,54	2,09	1,164	0,624

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  En 2005, le nombre de baladeurs vendus dans le courant de l'année est-il devenu inférieur à 100 000.

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