\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
%\usepackage{graphicx} % inclure le fichier graphique de pondichery 2010
%\usepackage{picins}
%\usepackage{hyperxmp}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{slashbox}
\usepackage {array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
%\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-3dplot}
%\usepackage{ifthen}
%\usepackage{calc}
%\usepackage{esvect}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath}} \right)$}
%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath} ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
%\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
%\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2008 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Antilles Guyane}}\\(Deuxième session)}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Antilles Guyane 2008\\(Deuxième session)}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 Une boîte de chocolats contient 50\:\% de chocolats au lait, 30\:\% de chocolats noirs et 20\:\% de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d'emballage identique. 

Ils sont garnis soit de praliné soit de caramel et, parmi les chocolats au lait, 56\:\% sont garnis de praliné.
 
On choisit au hasard un chocolat de la boîte. On suppose que tous les choix sont équiprobables.

On note :
 
\begin{list}{$\bullet~ $}{}
\item L : l'évènement \og le chocolat choisi est au lait \fg ; 
\item N : l'évènement \og le chocolat choisi est noir \fg ; 
\item B : l'évènement \og le chocolat choisi est blanc \fg ; 
\item A : l'évènement \og le chocolat choisi est garni de praliné \fg ; 
\item $\overline{\text{A}}$ : l'évènement \og le chocolat choisi est garni de caramel \fg. 
\end{list}

Tous les résultats seront donnés sous forme décimale. 

\begin{enumerate}
\item Traduire les données du problème à l'aide d'un arbre de probabilité. 
\item  Donner la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c'est un chocolat au lait. 
\item Déterminer la probabilité  que le chocolat choisi soit au lait et garni de praliné. 
\item Dans la boîte, 21\:\% des chocolats sont noirs et garnis de praliné. 

Montrer que la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c'est un chocolat noir, est égale à $0,7$. 

\item Dans la boîte, 60\:\% des chocolats sont garnis de praliné. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné. 

		\item En déduire la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c'est un chocolat blanc. 
	\end{enumerate}
\item On dispose de deux boîtes de chocolats identiques à celle décrite précédemment. Une personne prend au hasard un chocolat dans la première boîte, puis un chocolat dans la deuxième boîte  (les tirages sont indépendants). 

Déterminer la probabilité de l'évènement : \og l'un des chocolats choisi est garni de praliné et l'autre est garni de caramel \fg. 

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $f(x) = (1 - x) \e^{x}$.

 On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal (\emph{figure ci-dessous}). 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2.5)(2.5,1.75)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(1-x)*Euler^x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-3.5,-2.5)(2.5,1.75)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-.025 .025,yticksize= -.025 .025]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(2.5,1.75)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](2.4,0){$x$}\uput[l](-.05,1.6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.5}{1.54}{\f}
\uput[ur](1.5,-2){\bleu $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $f$ en $- \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\e^x = 0$). 

Interpréter graphiquement le résultat. 
\item  Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item   Déterminer le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

 Soit $F$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $F(x) = (- x + 2)\e^x$.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
\item  On appelle $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = -1$ et $x = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\;\mathrm{d}x$. 
		\item À l'aide du graphique ci-dessus, justifier que : $0 < \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\;\mathrm{d}x  < 1$. 
		\item Déterminer, en unités d'aire, la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis sa valeur décimale arrondie au centième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

 Une association caritative a constaté que, chaque année, 20\:\% des donateurs de l'année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don. 

On étudie l'évolution du nombre de donateurs au fil des années. 

Lors de la première année de l'étude, l'association comptait 1000~donateurs. 

On note $u_{n}$ le nombre de donateurs lors de la $n$-ième année ; on a donc $u_{1} = 1000$. 

\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$. 
\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $u_{n+1} = 0,8 \times  u_{n} + 300$. 
\item   Dans un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm pour  100 (on prendra l'origine du repère en bas à gauche de la feuille), représenter les droites d'équation 
$y = x$ et $y = 0,8 x + 300$. 

À l'aide d'une construction graphique, émettre une conjecture sur le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand $n$ tend vers l'infini. 

\item  Afin de démontrer cette conjecture, on introduit la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$, par $v_{n} = 1500 - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. 
		\item Calculer la limite de 	$\left(v_{n}\right)$ ; en déduire la limite de 	$\left(u_{n}\right)$. 
		
Que peut-on en déduire pour l'évolution du nombre de donateurs de l'association ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 


\medskip

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 Le tableau ci-dessous indique le nombre $y$ d'exploitations agricoles en France entre 1955 et 2005.

 On appelle $x$ le rang de l'année. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	& 1955	& 1970 	&1988	&2000	& 2005\\ \hline
Rang $x_{i}$ & 0 	& 15		& 33 	& 45	& 50 \\  \hline
Nombre d'exploitations $y_{i}$ (en milliers)& 2~280 & 1~588 &  1~017 & 	664 & 545\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize{\textsf{(Source INSEE)}}}\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\textsf{\textbf{\textsc{partie a :}} Un ajustement affine}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer le nuage de points $M_{i}\left(x_{i} ;  y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 1~cm pour 5~années sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 200~milliers d'exploitations sur l'axe des ordonnées ; (\emph{on placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille}).
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage et placer $G$ sur le graphique.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement $D$  de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis à l'unité}).
		\item Tracer la droite $D$ sur le graphique.
	\end{enumerate} 
\item Calculer le nombre  d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir pour 2008 en utilisant cet ajustement (\emph{le résultat sera arrondi au millier}). 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b :}}  Une autre estimation}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage de diminution du nombre d'exploitations agricoles entre 2000 et 2005 (\emph{le résultat sera arrondi au dixième}). 
\item On suppose qu'entre 2000 et 2005, le pourcentage annuel de diminution du nombre d'exploitations agricoles est constant. 

Vérifier que ce pourcentage est environ de 3,87\:\%. 
\item  On suppose que le pourcentage annuel de diminution reste constant et est égal à 3,87\:\% entre 2005 et 2008. 

Quel est le nombre d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir en 2008 (\emph{le résultat sera arrondi au millier}) ? 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~ ;~ 20]$ par $f(x) = \dfrac{1}{2} x + 4 + \dfrac{3}{4} \ln \left(4x + 10\right) - 3\ln x$. 

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe ci-dessous représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-.5)(11,9)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.5*x+4+.75*ln(4*x+10)-3*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-.5,-.5)(11,9)
\psset{unit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-.1 .1,yticksize= -.1 .1,Dx=5,Dy=4]{->}(0,0)(-1,-1)(22,18)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](21.5,0){$x$}\uput[l](-.1,17.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.01}{20}{\f}
\uput[ur](19,8.5){\bleu $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Quelle interprétation graphique peut-on en donner ? 
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ;  20]$, $f'(x ) = \dfrac{x^2 - 2x - 15}{x(2x + 5)}$.  
\item Déterminer les variations de la  fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 20]$ et dresser son tableau de variations. 
\end{enumerate}

\medskip

On admet que l'équation $f(x) = 6$ possède exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ dans l'intervalle $]0 ;  20]$ telles que $\alpha \approx 1,242$ et $\beta \approx 13,311$. 

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une entreprise produit au maximum  20000~objets par jour.
 
On note $x$ le nombre de milliers d'objets produits chaque jour travaillé : $x \in ] 0 ;  20]$.
 
On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un objet est égal à $f(x)$, où $f$ est la fonction définie ci-dessus. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour combien d'objets produits le coût moyen de fabrication est-il minimal ?
		\item Déterminer ce coût moyen minimal, arrondi au centime. 
	\end{enumerate}
\item Le prix de vente d'un objet est de 6~\euro. Pour quelles productions journalières l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? 

\item Déterminer le bénéfice journalier, arrondi à la centaine d'euros, pour une production de  5000~objets par jour. 

\item L'année suivante, le coût moyen augmente de 2\:\%. Le prix de vente est alors augmenté de 2\:\%. Le bénéfice journalier reste-t-il identique ? Justifier. 

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

\end{enumerate}
        
\end{document}