sujet : Asie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique une quantité x, comprise entre 0 et 20, d'un certain objet.
Le coût total de production f, exprimé en euros, est représenté par la courbe C dans un repère d'origine O du graphique 1. La tangente à la courbe C au point B d'abscisse 14 est tracée sur le même graphique.

graphique 1

1. 1. Quel est le coût total de production de 10 objets ?

      Le point de la courbe C d'abscisse 10 a pour ordonnée 60.

      Le coût total de production de 10 objets est de 60 €

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   2. Quelle quantité maximale d'objets est-il possible de produire pour un coût total inférieur à 150 € ?

      Le point de la courbe C d'ordonnée 150 a une abscisse proche de 18,3. La fonction coût total étant croissante, le nombre maximal d'objets à fabriquer pour coût total inférieur à 150 € est le plus grand entier $n⩽\mathrm{18,3}$.

      Pour un coût total inférieur à 150 €, il faut produire 18 objets au maximum.

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2. Le coût marginal g est donné sur l'intervalle $\left]0;20\right]$ par la dérivée du coût total de production $g\left(x\right)=f\prime \left(x\right)$ pour tout x appartenant à l'intervalle $\left]0;20\right]$.

   1. En utilisant le graphique 1, déterminer la valeur du coût marginal pour $x=14$. Comparer $g\left(14\right)$ et $g\left(19\right)$.

      Le nombre dérivé $g\left(14\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point B d'abscisse 14. Soit $$g\left(14\right)={\displaystyle \frac{60}{6}}=10$$

      Le coût marginal du quatorzième objet est égal à 10 €.

      ---

      Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 19 est supérieur à 20. Donc $g\left(14\right)<g\left(19\right)$

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   2. Quelle est, parmi les trois courbes proposées sur le graphique 2, celle qui représente le coût marginal ? Justifier la réponse.

      graphique 2

      • $g\left(14\right)=10$ donc la courbe $C_2$ ne convient pas.
      • $g\left(14\right)<g\left(19\right)$ donc la courbe $C_3$ ne convient pas.

      La courbe $C_1$ est la seule susceptible de représenter la fonction g.

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3. Le coût moyen h est donné sur l'intervalle $\left]0;20\right]$ par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}$.

   1. Estimer $h\left(5\right)$

      Graphiquement, le point de la courbe C d'abscisse 5 a pour ordonnée 40, d'où $$h\left(5\right)={\displaystyle \frac{40}{5}}=10$$

      Le coût moyen pour la production de 5 objets est égal à 8  €.

      ---

   2. Sur le graphique 1 de l'annexe, placer le point Q d'abscisse 5 situé sur la courbe C, puis tracer la droite (OQ).
      Une expression du coefficient directeur de la droite (OQ) est ${\displaystyle \frac{f\left(5\right)}{5}}$. Justifier cette expression.

      Le coefficient directeur m de la droite (OQ) est $$\begin{array}{lll}m& =& {\displaystyle \frac{y_Q-y_O}{x_Q-x_O}}\\ & =& {\displaystyle \frac{f\left(5\right)-0}{5-0}}\\ & =& {\displaystyle \frac{f\left(5\right)}{5}}\end{array}$$

      Le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal à ${\displaystyle \frac{f\left(5\right)}{5}}$.

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   3. Placer le point A sur la courbe C tel que la droite (OA) soit tangente à C. On appelle a l'abscisse du point A.

   4. Conjecturer les variations de h sur l'intervalle $\left]0;20\right]$.
      Toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée.

      Soit $M\left(x;f\left(x\right)\right)$ un point de la courbe C représentative de la fonction coût total. Le coefficient directeur de la droite (OM) est égal à ${\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}$.

      Donc M étant un point de la courbe C, $\left(M\ne \mathrm{O}\right)$ le coefficient directeur de la droite (OM) est égal au coût moyen de production $h\left(x\right)$.

      Sur le graphique, on constate que :

      • si $x\in \left]0;a\right]$ , le coefficient directeur de la droite (OM) décroit pour des quantités de production x qui augmentent. Donc nous pouvons supposer que la fonction h est décroissante sur $\left]0;a\right]$.
      • si $x\in \left[a;20\right]$ , le coefficient directeur de la droite (OM) croit pour des quantités de production x qui augmentent. Donc nous pouvons supposer que la fonction h est croissante sur $\left[a;20\right]$.

      Nous pouvons émettre l'hypothèse que le tableau des variations de la fonction h est le suivant :

      x	0			a		20
      $h\left(x\right)$				$h\left(a\right)$		$h\left(20\right)$

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      remarque :

      Pour une quantité de production égale à a, le coût moyen minimal est égal au coût marginal. En effet :

      • Aussi longtemps que le coût marginal est inférieur au coût moyen, la production d'une unité supplémentaire engendre une baisse du coût moyen.
      • Par contre, lorsque le coût marginal devient supérieur au coût moyen, la production d'une unité supplémentaire engendre une augmentation du coût moyen.

      Le coût moyen est minimal quand il est égal au coût marginal.

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