sujet : Centres Étrangers

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une association organise chaque année un séjour qui s'adresse à des adultes handicapés. À sa création en 1997, dix adultes handicapés sont partis durant cinq jours. Ainsi, on dira qu'en 1997 le nombre de «journées participant» est de 5 × 10 soit 50.
Le tableau suivant donne le nombre de «journées participant» de 1997 à 2004. L'année 1997 a  le rang 0.

Années	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année $x_i$	0	1	2	3	4	5	6	7
Nombre de «journées participant» $y_i$	50	130	200	240	250	280	300	320

1. Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de « journées participant » de 1997 à 2000, puis celui de 2000 à 2003.

2. Ces données sont représentées par le nuage de points ci-joint.

   On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent.
   L'allure du nuage suggère de chercher un ajustement de y en x de la forme $y=k\ln \left(ax+b\right)$ où k, a et b sont trois nombres réels. Pour cela on pose : $z_i={\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{y_i}{100}}}$.
   Dans cette question les calculs seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.

   1. Recopier et compléter le tableau suivant :

      Rang de l'année $x_i$	0	1	2	3	4	5	6	7
      Nombre de «journées participant» $y_i$	50	130	200	240	250	280	300	320
      $z_i={\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{y_i}{100}}}$	1,65

   2. Représenter le nuage de points associés à la série $\left(x_i;z_i\right)$ dans un repère orthonormal (unités : 1 cm)

   3. Donner les coordonnées du point moyen et placer ce point sur le graphique précédent.

   4. Déterminer une équation de la droite (D) d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite (D) sur le graphique précédent.

   5. Sachant que $z_i={\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{y_i}{100}}}$, déterminer l'expression de y en fonction de x.

3. On suppose que l'évolution du nombre de «journées participant» se poursuit dans un futur proche selon le modèle précédent.

   1. Estimer, à l'unité prés, quel serait le nombre de «journées participant» prévu pour l'année 2007.

   2. En réalité, le nombre de «journées participant» en 2007 a été de 390. Si l'écart en valeur absolue entre la valeur estimée et la valeur réelle est inférieur à 10 % de la valeur réelle, on considère que le modèle est pertinent. Est-ce le cas ?

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EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un magasin de sport propose à la location des skis de piste, des snowboards et des skis de randonnée.
Son matériel est constitué de 50% de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée.
Après la journée de location, le matériel est contrôlé et éventuellement réparé.
Il a été constaté que la moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des ski de randonnée nécessitent une réparation.

Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise son suivi.
On tire au hasard une fiche. On considère les évènements suivants :

• ${\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}$ : « La fiche est celle d'une paire de ski de piste » ;
• ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}$ : « La fiche est celle d'un snowboard » ;
• ${\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}$ : « La fiche est celle d'une paire de ski de randonnée » ;
• R : « Le matériel nécessite une réparation » ; $\overline{\mathrm{R}}$ est son évènement contraire.

Tous les résultats des quatre premières questions seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).

2. Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de ski de piste ne nécessitant pas une réparation.

3. Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne du matériel ne nécessitant pas une réparation.

4. La fiche tirée concerne du matériel ayant nécessité une réparation. Quelle est la probabilité que cette fiche concerne un snowboard ?

5. Les paires de ski de piste de randonnée, ainsi que les snowboards sont loués 30 € pour la journée.

   Quelle est l'espérance de gain sur le matériel loué sachant que chaque réparation coûte 20 € au loueur ?

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EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un village, l'association de gymnastique volontaire possédait 50 adhérents en 2000.
Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit 18 nouvelles adhésions et que 85 % des anciens inscrits renouvellent leur adhésion.
On note $a_n$ le nombre d'adhérents pour l'année 2000 + n ; on a donc $a_0=50$ et $a_{n+1}=\mathrm{0,85}{a}_n+18$ pour tout entier naturel n.

1. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=a_n-120$ pour tout $n⩾0$.

   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

   2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, $a_n=120-70\times {\mathrm{0,85}}^n$.

   3. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ quand n tend vers l'infini, interpréter ce résultat.

2. Chaque semaine 60% des adhérents s'inscrivent pour une heure de gymnastique et 40% pour deux heures de gymnastique.

   1. Exprimer en fonction de n le nombre d'heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l'année 2000 + n.

   2. Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu'alors n doit vérifier l'inéquation $98\times {\mathrm{0,85}}^n<8$.

      Résoudre cette inéquation et conclure.

      Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

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exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un Q.C.M (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est  demandée.
Barème : Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

questions		réponses
Q1	D'une année sur l'autre, un produit perd 10% de sa valeur. Le produit a perdu au moins 70% de sa valeur initiale au bout de :	7 années 11 années 12 années
Q2	Dans une expérience aléatoire, la probabilité d'un évènement A est égale à 0,4. On répète huit fois cette expérience de façon indépendante. La probabilité que l'évènement A se réalise au moins une fois est égale à :	${\left(\mathrm{0,4}\right)}^8$ ${\left(\mathrm{0,6}\right)}^8$ $1-{\left(\mathrm{0,6}\right)}^8$
Q3	F est la primitive qui s'annule en 1 de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2+1$. On a :	$F\left(0\right)=1$ $F\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ $F\left(0\right)={\displaystyle \frac{4}{3}}$
Q4	f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{3x}$. On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère. La tangente (T) à la courbe (C) au point A d'abscisse 0 a pour coefficient directeur :	0 1 3

Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction f définie et dérivable sur $\left]-\infty ;3\right[$. On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

x	$-\infty$	− 3	− 2	2	3
$f\left(x\right)$	$+\infty$		− 2		$+\infty$

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questions		réponses
Q5	On peut affirmer que :	$f\left(0\right)<0$ $f\left(0\right)=0$ $f\left(0\right)>0$
Q6	La courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation :	$x=0$ $x=3$ $y=3$
Q7	g est la fonction définie par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ sur l'intervalle $\left]-\infty ;-3\right[$. La limite de g en $-\infty$ :	est $-\infty$ est $+\infty$ n'existe pas
Q8	F désigne une primitive de f sur $\left]-\infty ;3\right[$. F est :	strictement décroissante sur $\left]-\infty ;-3\right[$ strictement décroissante sur $\left]-3;2\right[$ strictement croissante sur $\left]-\infty ;3\right[$

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exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-3x+4+8\ln \left(x+1\right)$.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. 1. Calculer la limite de f en −1. Donner l'interprétation graphique du résultat obtenu.

   2. Déterminer la limite de f en $+\infty$ (on pourra utiliser $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x+1\right)}{x}}=0$).

2. 1. On note $f\prime$ la dérivée de f sur $\left]-1;+\infty \right[$. Démontrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5-3x}{x+1}}$.

   2. Étudier le signe de $f\prime$ et dresser le tableau de variations de f . On donnera une valeur arrondie au dixième du maximum de f sur $\left]-1;+\infty \right[$.

3. On se place dans l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{5}{3}};+\infty \right[$. Démontrer que dans cet intervalle, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique notée $x_0$. Donner une valeur approchée de $x_0$ à ${10}^{-2}$ près.

4. 1. Vérifier que la fonction F définie par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-4x+8\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)$ est une primitive de f sur $\left]-1;+\infty \right[$.

   2. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=5$ (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près).

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