Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte.



On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-5;52].
Le plan est muni d'un repère orthonormal.

  • La courbe (Cf) représentée ci-dessous est celle de la fonction f.
  • Les points A(0;2), B(1;e) et C(2;0) appartiennent à la courbe (Cf).
  • Le point de la courbe (Cf) d'abscisse (-5) a une ordonnée strictement positive.
  • La tangente (T) en A à la courbe (Cf) passe par le point D(-2;0).
  • La tangente en B à la courbe (Cf) est parallèle à l'axe des abscisses.
Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Partie A : aucune justification n'est demandée

  1. On note f(0) le nombre dérivé de la fonction f en 0. Quelle est sa valeur ?

    Le nombre dérivé f(0) est égal au coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe (Cf) au point A d'abscisse 0. Or la doite (T) passe par le point D(-2;0) donc f(0)=2-00-(-2)=1

    f(0)=1

    f(0)=2

    f(0)=0

    On note ln la fonction logarithme népérien et g la fonction composée ln(f).

  2. Quel est l'ensemble de définition de la fonction g, noté Dg ?

    La fonction composée g=ln(f) est définie sur tout intervalle de l'ensemble de définition de la fonction f sur lequel f est strictement positive.
    C'est à dire pour tout réel x tel que f(x)>0.

    ]0;52[

    [-5;2]

    [-5;2[

  3. Quelle est la valeur de g(0) ?

    g(0)=ln[f(0)]=ln(2)

    g(0)=2

    g(0)=0

    g(0)=ln(2)

  4. On note g la fonction dérivée de la fonction g. Quelle est la valeur de g(1) ?

    D'après le théorème sur la dérivée de ln u,Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln(u) est dérivable sur I et sa dérivée est (lnu)=uu. la fonction g est dérivable sur [-5;2[ et g(x)=f(x)f(x) . D'où g(1)=f(1)f(1)

    Or la tangente en B à la courbe (Cf) est parallèle à l'axe des abscisses donc f(1)=0g(1)=0

    g(1)=e

    g(1)=0

    g(1)=-1e2

  5. Quelle est la limite de g(x) quand x tend vers 2 ?

    limx2f(x)=0 et limX0ln(X)=- donc par composition limx2ln[f(x)]=-

    limx2g(x)=-

    limx2g(x)=0

    limx2g(x)=+

Partie B : chaque réponse doit être justifiée

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

  1. À quel intervalle appartient le réel I=02f(x)dx ?

    La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0;2] , donc f est continue sur cet intervalle. D'autre part, la courbe (Cf) est située au dessus de l'axe des abscisses, donc f est positive sur [0;2].

    L'intégrale I=02f(x)dx est l'aire exprimée en unité d'aire du domaine hachuré compris entre la courbe (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=2.

    Or l'aire de ce domaine est comprise entre l'aire d'un rectangle de côtés 1,5 et 2 et d'un rectangle de côtés 2 et 3. Soit 1,5×202f(x)dx2×3302f(x)dx6

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    [0;3]

    [3;6]

    [6;9]

  2. Parmi les trois courbes jointes en annexe, l'une est la représentation graphique de la fonction dérivée f de la fonction f . Laquelle ?

    • Pour ceux qui ont trouvé la bonne réponse à la première question, f(0)=1, la solution est triviale : la courbe (C3) est la seule qui passe par le point de coordonnées (0;1).

    • Autrement, la fonction f est croissante sur l'intervalle [-5;1] et décroissante sur l'intervalle [1;52]. Par conséquent, la dérivée f est positive sur l'intervalle [-5;1] et négative sur l'intervalle [1;52].

      La courbe (C3) est la seule courbe située au dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle [-5;1] et sous l'axe des abscisses sur l'intervalle [1;52].

    Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

     a) La courbe (C1)

     b) La courbe (C2)

     c) La courbe (C3)

  3. Parmi les trois courbes jointes en annexe, l'une est la représentation graphique d'une primitive F de la fonction f, F étant définie sur l'intervalle [-5;52]. Laquelle ?

    Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [-5;52] siginfie, que pour tout réel x de l'intervalle [-5;52], F(x)=f(x).
    Les variations de la fonction F se déduisent donc du signe de f.

    Or la fonction f est positivee sur l'intervalle [-5;2] et négative sur l'intervalle [2;52] . Par conséquent, la primitive F est croissante sur l'intervalle [-5;2] et décroissante sur l'intervalle [2;52].

    Seule la courbe (C1) peut convenir.

    Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

     a) La courbe (C1)

     b) La courbe (C2)

     c) La courbe (C3)

Annexe

Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
Courbe représentative d'une primitive FCourbe représentative de la dérivée f

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