Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte.
On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle .
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
On note le nombre dérivé de la fonction f en 0. Quelle est sa valeur ?
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe au point A d'abscisse 0. Or la doite (T) passe par le point donc
On note ln la fonction logarithme népérien et g la fonction composée .
Quel est l'ensemble de définition de la fonction g, noté ?
La fonction composée est définie sur tout intervalle de l'ensemble de définition de la fonction f sur lequel f est strictement positive.
C'est à dire pour tout réel x tel que .
Quelle est la valeur de ?
On note la fonction dérivée de la fonction g. Quelle est la valeur de ?
D'après le théorème sur la dérivée de ln u,Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction est dérivable sur I et sa dérivée est . la fonction g est dérivable sur et . D'où
Or la tangente en B à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses donc
Quelle est la limite de quand x tend vers 2 ?
et donc par composition
Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
À quel intervalle appartient le réel ?
La fonction f est dérivable sur l'intervalle , donc f est continue sur cet intervalle. D'autre part, la courbe est située au dessus de l'axe des abscisses, donc f est positive sur .
L'intégrale est l'aire exprimée en unité d'aire du domaine hachuré compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
Or l'aire de ce domaine est comprise entre l'aire d'un rectangle de côtés 1,5 et 2 et d'un rectangle de côtés 2 et 3. Soit
Parmi les trois courbes jointes en annexe, l'une est la représentation graphique de la fonction dérivée de la fonction f . Laquelle ?
Pour ceux qui ont trouvé la bonne réponse à la première question, , la solution est triviale : la courbe est la seule qui passe par le point de coordonnées .
Autrement, la fonction f est croissante sur l'intervalle et décroissante sur l'intervalle . Par conséquent, la dérivée est positive sur l'intervalle et négative sur l'intervalle .
La courbe est la seule courbe située au dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle et sous l'axe des abscisses sur l'intervalle .
a) La courbe | b) La courbe | c) La courbe |
Parmi les trois courbes jointes en annexe, l'une est la représentation graphique d'une primitive F de la fonction f, F étant définie sur l'intervalle . Laquelle ?
Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle siginfie, que pour tout réel x de l'intervalle , .
Les variations de la fonction F se déduisent donc du signe de f.
Or la fonction f est positivee sur l'intervalle et négative sur l'intervalle . Par conséquent, la primitive F est croissante sur l'intervalle et décroissante sur l'intervalle .
Seule la courbe peut convenir.
a) La courbe | b) La courbe | c) La courbe |
Courbe représentative d'une primitive F | Courbe représentative de la dérivée |
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