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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2008 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Nouvelle Calédonie}}}}} %centre
%pied de page
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\lfoot{Nouvelle Calédonie 2008}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur l'ensemble $]- \infty ;  - 5[ ~\cup~ ]-5~ ;~+ \infty[$.

On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $g$ dans un repère donné du plan.

On donne ci-dessous le tableau de variations de $g$ :

\begin{center}

	\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture*}(15.5,3.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(15.5,3.5) \psline(0,2.5)(15.5,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,3.5)\psline(6.4,0)(6.4,2.5)\psline(6.6,0)(6.6,2.5)
\rput(0.75,3){$x$} \rput(2,3){$- \infty$}\rput(6.5,3){$-5$} \rput(9,3){$-1$} \rput(11,3){4} \rput(15,3){$+ \infty$} 
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.5){\rnode{A}{$- \infty$}} \rput(6,2){\rnode{B}{$+ \infty$}} \rput(7,.5){\rnode{C}{$- \infty$}} \rput(11,2){\rnode{D}{5}} \rput(15,.5){\rnode{E}{1}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{C}{D} \ncput*{0} \ncline{D}{E}
\end{pspicture*}
\end{center}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, indiquer sur votre copie :

\begin{center}
\textsf{\textbf{\textsc{vrai}}} ou \textsf{\textbf{\textsc{faux}}} ou \textsf{\textbf{\textsc{les informations données ne permettent pas de répondre}}}.
\end{center}



Aucune justification n'est demandée.

\medskip


\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.}

\emph{Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est $0$}

\begin{enumerate}
\item  Pour tout réel $ x \in  ]-1 ;  +\infty[$, $g(x) \leq  5$.

\item  Pour tout réel $x \in  ]- 5 ;  4]$, $g'(x) \geq 0$ ($g'$ désigne la fonction dérivée de $g$).

\item  La droite d'équation $x = 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.

\item  La courbe $(\mathcal{C})$ admet une droite asymptote en $- \infty$.

\item  On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1 ;  +\infty[$ par $f(x) = \ln [g(x)]$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien :
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout réel $x \in [4  ;  + \infty[$, $f(x) \geq 0$ ;
		\item  La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[4 ; + \infty[$ ;
		\item  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ ;
		\item  $\displaystyle\lim_{\substack{x \to - 1\\ x > -1}} f(x) = - \infty$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la facture de gaz (en milliers d'euros) d'une entreprise pour les années 2000 à 2007.

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 &2007\\ \hline
Rang $x_{i}$ de l'année & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &	6 & 7\\ \hline
Montant $y_{i}$ (en milliers d'euros) de la facture de gaz & 105 & 112 & 116 & 120 &  124  & 131  & 139 &	148 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~ ;~ y_{i}\right)$ de cette série statistique dans un plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour une année sur l'axe des abscisses ; 1~cm pour 10~milliers d'euros sur l'axe des ordonnées en commençant à 50~milliers).

\item 	On utilise un ajustement affine comme premier modèle.

	\begin{enumerate}
		\item  Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite ($D$) de régression de $y$ en
$x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur décimale arrondie au dixième.
		\item  Calculer le montant (arrondi au millier d'euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce modèle pour l'année 2012.
	\end{enumerate}
\item	Déterminer le pourcentage annuel moyen d'augmentation de cette facture entre 2000 et 2007 (arrondir à l'unité).

\item	On envisage un second modèle pour prévoir l'évolution de cette facture ; on considère qu'à partir de 2007, la facture augmentera de 5\:\% chaque année.
		
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_{n}$ le montant (en milliers d'euros) de la facture de gaz obtenu avec ce second modèle pour l'année $2007 + n$. Ainsi, $u_{0} = 148$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}$.
		\item Justifier que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05.
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer le montant (arrondi au millier d'euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce second modèle pour l'année 2012.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 Lors d'un jeu, Marc doit répondre à la question suivante :

\og Le premier jour, nous vous offrons 100~\euro{} puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5\:\% de plus que la veille et une somme fixe de 20~\euro.
Au bout de combien de jours aurez-vous gagné  10~000~\euro{}? \fg

\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_{n}$ le montant total en \euro{} versé à Marc le $n$-ième jour. Ainsi, $u_{1} =100$.

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $u_{2}$. 
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} =  1,05u_{n} +20$.
	\end{enumerate}

\item   Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_{n} =  u_{n} + 400$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $v_{1}$.
		\item  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique et préciser sa raison. 
		\item  Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ puis en déduire que $u_{n} = 500 \times 1,05^{n-1} - 400$. 
		\item  Déterminer, en fonction de $n$, la somme $v_{1} +  v_{2} + \cdots + v_{n}$.
	\end{enumerate}

\item Quelle réponse Marc doit-il donner ?
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 Deux joueurs Roger et Raphaël disputent un match de tennis.

 Dans cet exercice, on s'intéresse aux points gagnés par Roger lorsqu'il sert (c'est-à-dire lorsqu'il effectue la mise en jeu).
 
 \medskip

À chaque point disputé, Roger dispose de deux essais pour son service. S'il rate ces deux essais, il perd le point (on parle de double faute).

 \medskip

Roger s'apprête à servir. On note :
 
 \begin{itemize}
\item[]  A l'évènement \og Roger réussit son premier service \fg,
\item[]  B l'évènement \og Roger réussit son second service \fg,
\item[] G l'évènement \og Roger gagne le point \fg.
\end{itemize}

On note respectivement $\overline{\text{A}}$, $\overline{\text{B}}$ et $\overline{\text{G}}$ les évènements contraires respectifs des événements A, B et G.

Une étude sur les précédents matchs de Roger a permis d'établir que, lorsque Roger sert :

\begin{itemize}
\item il réussit dans 75\:\% des cas son premier essai et lorsque ce premier service est réussi, il gagne le point dans 92\:\% des cas.
\item s'il ne réussit pas son premier essai, il réussit le second dans 96\:\% des cas et lorsque ce
second service est réussi, il gagne le point dans 70\:\% des cas.
\end{itemize}

On va décrire la situation précédente par un arbre pondéré:

\medskip

\begin{center}
\psset{arrows=-,treesep=1cm,levelsep=3cm,nodesep=0pt}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pstree[linecolor=bleu,treemode=R]{\Tp}{
\pstree{\TR{\bleu ~A~}}
		{\TR{\bleu ~$G$}
		\TR{\bleu ~$\overline{\text{G}}$}
		}
\pstree{\TR{\bleu $\overline{\text{A}}$}}
		{\pstree{\TR{\bleu ~B~}}
				{\TR{\bleu ~G}
				\TR{\bleu ~$\overline{\text{G}}$}
				}
		\pstree{\TR{\bleu ~$\overline{\text{B}}$~}}
			
		}
}
\end{center}


\emph{Les probabilités demandées seront données sous forme décimale arrondie, si nécessaire, au millième.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire l'arbre ci-dessus et le pondérer à l'aide des données du texte.

\item 	Quelle est la probabilité que Roger fasse une double faute ?

\item 	Quelle est la probabilité que Roger rate son premier service, réussisse le second et gagne le point ?

\item  Montrer que la probabilité que Roger gagne le point est de 0,858.

\item 	Sachant que Roger a gagné le point joué, quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?

\item 	Les deux joueurs disputent quatre points de suite (Roger servant à chaque fois). On admet que chaque point joué est indépendant des points joués précédemment. Quelle est la probabilité que Roger ne gagne pas la totalité des quatre points ?
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant $x$ centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction $B$ définie et dérivable sur l'intervalle $[1~;~ 15]$ par :

\[B(x) = (x - 5)\e^{u(x)} + 2\qquad  \text{avec}\qquad  u(x) = - 0,02x^2 + 0,2x - 0,5.\]

Si $B(x)$ est positif il s'agit d'un bénéfice, s'il est négatif il s'agit d'une perte.
\begin{enumerate}
\item  On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$ et $u'$ la fonction dérivée de la fonction $u$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $u'(x)$ et démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~ 15]$, on a :
		\[B'(x) = (-0,04x^2 + 0,4x)\e^{u(x)}.\]

		\item   \'Etudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[1~;~ 15]$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $B$.
	\end{enumerate}

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer le nombre minimum d'objets que l'entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice. 
		
Pour quel nombre d'objets ce bénéfice est-il maximal ? Et quel est alors ce bénéfice maximal (arrondi à l'euro près) ?

\item La valeur moyenne $m$ d'une fonction $f$ qui admet des primitives sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$ est :
\[m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\dd t\] 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $B(x) = - 25 \times u'(x)\e^{u(x)}+2$.

		\item  En déduire l'arrondi au milli\`eme de la valeur moyenne de $B$ sur $[1~;~ 15]$.

		\item  Interpréter ce résultat pour l'entreprise.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

       
\end{document}