sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous présente l'évolution de l'indice des prix des logements anciens en Ile de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000).

(Source : INSEE)

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Rang $x_i$ de l'année	0	1	2	3	4	5	6
Indice $y_i$ des prix	100	106,3	114,3	126,1	143,6	166,3	181,5

On cherche à étudier l'évolution de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année.

1. Calculer le taux d'évolution de cet indice entre 2000 et 2006.

2. Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé à cette série statistique, dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques :

   • sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un an ;
   • sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 10 (en plaçant 100 à l'origine).

L'allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel. On pose $z=\ln y$.

3. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_i$ seront arrondies au millième) :

   Rang $x_i$	0	1	2	3	4	5	6
   $z_i=\ln y_i$	4,605

4.  Dans cette question les calculs  effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.

   1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).

   2. En déduire une approximation de l'indice des prix y en fonction du rang x de l'année.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y=\exp \left(z\right)$

5. On prend l'approximation $y\approx 96{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,104}x}$ et on suppose qu'elle reste valable pour les années suivantes.

   1. Déterminer le plus petit entier n tel que $96{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,104}n}⩾250$.

   2. Donner une interprétation du résultat obtenu.

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