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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2008 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Polynésie}}}}} %centre
%pied de page
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\lfoot{Polynésie 2008}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{8.5cm}>{\raggedleft}X@{}}
Le plan est muni d'un repère orthonormal.

\medskip

Soient $f$ une fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et $\mathcal{C}$ sa courbe tracée ci-contre.

\medskip

La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

\medskip

On appelle B, A et E les points de coordonnées respectives $(4 ; 0)$, $\left(4 ; \dfrac{179}{75}\right)$ et $\left(0 ; \dfrac{179}{75}\right)$.

Ces trois points n'appartiennent pas à la  courbe $\mathcal{C}$.
&
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3)(7.5,6)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-17*x^3/50+203*x^2/100-3*x+3}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-2.5,-3)(7.5,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.07 0.07,yticksize=-0.07 0.07]{->}(0,0)(-2.5,-3)(7.5,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.3,0){$x$} \uput[l](-0.04,5.8){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](4,-3)(4,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1}{5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,6)(2,-3)
\psdots[dotstyle=*, linecolor=prune, dotscale=0.8](4,0)(4,2.3867)(0,2.3867)
\uput[ul](4,0){\prune{\small{B}}} \uput[r](4,2.3867){\prune{\small{A}}} \uput[l](0,2.3867){\prune{\small{E}}} 
\rput(5.25,-2.25){\bleu $\mathcal{C}$}
\rput(2.25,-2.25){\prune $\mathcal{D}$}
\end{pspicture*}\\
\end{tabularx}


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}

\medskip

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'ordonnée à l'origine de la droite $\mathcal{D}$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  0 & \textbullet \quad  1 & \textbullet \quad  3\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $\dfrac{-1}{3}$ & \textbullet \quad  5 & \textbullet \quad  $-3$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Sachant que l'aire grisée sur la figure est égale à l'aire du rectangle OBAE, la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 4]$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $\dfrac{179}{75}$ & \textbullet \quad  $\dfrac{716}{75}$ & \textbullet \quad  $-\dfrac{179}{75}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Sur l'intervalle $[0 ; 4]$, l'équation $f'(x) =0$ :

\medskip

\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
		\item possède deux solutions distinctes.
		\item ne possède pas de solution.
		\item possède une unique solution. 
	\end{itemize}

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 Un site internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères. Pour chaque objet, la durée des enchères dure une semaine.	Si une annonce reçoit une enchère, alors la vente de l'objet est obligatoire à la fin des enchères et ce, même si le vendeur juge le prix de vente trop peu élevé.

Sur ce site, une	étude statistique a montré que :

 \begin{itemize}
\item  $\dfrac{3}{5}$ des annonces reçoivent une première enchère le lendemain de leur parution ; dans ce cas, 75\% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final ;
\item  $\dfrac{1}{3}$ des annonces reçoivent une première enchère au bout de trois jours et, dans ce cas, 57\% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final de leur objet ;
\item Les autres annonces ne reçoivent aucune enchère et le vendeur retire alors son objet de la vente.
\end{itemize}

\medskip

On choisit au hasard une annonce mise en ligne sur le site. On note :
 \begin{itemize}
\item [] L : l'évènement \og l'annonce reçoit une première enchère le lendemain de sa parution \fg{}  ;
\item [] T : l'évènement \og l'annonce reçoit une première enchère au bout de trois jours \fg{} ;
\item [] A : l'évènement \og l'annonce ne reçoit aucune enchère \fg {} ;
\item [] S : l'évènement \og le vendeur est satisfait du prix de vente final de son objet \fg{} et $\overline{\text{S}}$ son évènement contraire.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item	Traduire la situation par un arbre de probabilité.
	\item	Calculer la probabilité que l'annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait du prix de vente final.
	\item	Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64.
	\item	Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l'annonce (\emph{le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième}) ?
	\item	Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements de ces enchères sont indépendants les uns des autres. Calculer la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit satisfait du prix de vente final d'au moins deux de ces jeux vidéo (\textit{le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième}).
 \end{enumerate}
 
\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre service. Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n'importe quelle station de son choix. 

La ville compte sept stations de location nommées  A, B, C, D, E, F et G.

Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(0,0)(7,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu,dotstyle=*,dotsize=4pt}
\dotnode(0.5,3.5){A} \dotnode(3.5,6.5){B} \dotnode(6.5,5){C} \dotnode(6,2.5){D} \dotnode(2.5,2.5){E} \dotnode(3,0.5){F} \dotnode(4.5,0.5){G}
\ncline{A}{B}\ncput*{\prune \bf \sf 7} \ncline{A}{C}\ncput*{\prune \bf \sf 11} \ncline{A}{F}\ncput*{\prune \bf \sf 13} 
\ncline{B}{C}\ncput*{\prune \bf \sf 10} \ncline{B}{D}\ncput*[npos=.33]{\prune \bf \sf 15} \ncline{B}{E}\ncput*[npos=.33]{\prune \bf \sf 14}
\ncline{C}{E}\ncput*{\prune \bf \sf 9} \ncline{C}{F}\ncput*[npos=.45]{\prune \bf \sf 18}
\ncline{D}{E}\ncput*[npos=.55]{\prune \bf \sf 5} \ncline{D}{G}\ncput*{\prune \bf \sf 5}
\ncline{E}{F}\ncput*{\prune \bf \sf 8}
\ncline{F}{G}\ncput*{\prune \bf \sf 18}
\uput[l](0.5,3.5){\small {\bleu {A}}} \uput[u](3.5,6.5){\small {\bleu {B}}} \uput[r](6.5,5){\small {\bleu {C}}}
\uput[r](6,2.5){\small {\bleu {D}}} 
\uput[l](2.5,2.5){\small {\bleu {E}}} \uput[d](3,0.5){\small {\bleu {F}}} \uput[d](4.5,0.5){\small {\bleu {G}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Philippe cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n'empruntant que des pistes cyclables.
	
\begin{enumerate}
	\item A-t-il la possibilité d'effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables ? Justifier la réponse.
	\item À la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\item On appelle $M$ la matrice associée à ce graphe. On donne deux matrices $N$ et $T$ :  
\[
N = {\begin{pmatrix*}[r]
    4 &  9 &  8 &  5 &  5 &  9 &  2 \\
    9 &  6 &  10 &  7 &  10 &  6 &  4 \\
    8 &  10 &  8 &  5 &  10 &  9 &  4 \\
    5 &  7 &  5 &  2 &  8 &  4 &  5 \\
    5 &  10 &  10 &  8 &  6 &  11 &  2 \\
    9 &  6 &  9 &  4 &  11 &  4 &  6 \\
    2 &  4 &  4 &  5 &  2 &  6 &  0 \\
 \end{pmatrix*} }
\text{ et } 
 T = {\begin{pmatrix*}[r]
    4 &  9 &  8 &  4 &  5 &  9 &  1 \\
    9 &  6 &  10 &  6 &  10 &  6 &  4 \\
    8 &  10 &  8 &  4 &  10 &  9 &  4 \\
    5 &  7 &  5 &  2 &  8 &  4 &  5 \\
    5 &  8 &  10 &  8 &  6 &  11 &  0 \\
    9 &  6 &  9 &  4 &  11 &  4 &  6 \\
    1 &  4 &  4 &  5 &  0 &  6 &  0 \\
 \end{pmatrix*} }
\] 

\begin{enumerate}
	\item Une des deux matrices $N$ ou $T$  est la matrice $M^3$.
	
	Sans calculs, indiquer quelle est la matrice $M^3$ en justifiant la réponse.
	\item Philippe a loué une bicyclette à la station F et l'a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station.
	
	 Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.
\end{enumerate}
  \item Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A.
  
\`A l'aide d'un algorithme, déterminer un tel parcours et donner alors le temps nécessaire pour l'effectuer.
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 Le tableau ci-dessous présente l'évolution de l'indice des prix des logements anciens en Ile de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 \\ \hline
Rang $x_i$ de l'année & 0 &	1 &	2 &	3	& 4	& 5 &	6\\ \hline
Indice $y_i$ des prix &	100 &	106,3 &	114,3 &	126,1 &	143,6 &	166,3 &	181,5\\ \hline
\multicolumn {8}{r}{\footnotesize{(Source : INSEE)}} \\
\end{tabularx}

\medskip

On cherche à étudier l'évolution de l'indice des prix $y$ en fonction du rang $x$ de l'année.

\begin{enumerate}
	\item Calculer le taux d'évolution de cet indice entre 2000 et 2006.
	\item Représenter le nuage de points   associé à cette série statistique, dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques :
	
\begin{itemize}
	\item sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un an ;
	\item sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 10 (en plaçant 100 à l'origine).
\end{itemize}
\end{enumerate}

\medskip

L'allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel. On pose $z = \ln {y}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (\emph{les valeurs de $z_i$ seront arrondies au millième}) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $x_i$ & 0 &	1 &	2 &	3	& 4	& 5 &	6\\ \hline
$z_i = \ln {y_i}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 4,605 & & & & & &	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item \emph{Dans cette question les calculs  effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés}.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis au millième}). 
	\item En déduire une approximation de l'indice des prix $y$ en fonction du rang $x$ de l'année.
\end{enumerate}
\item	On prend l'approximation  $y \approx 96 \e^{0,104x} $  et on suppose qu'elle reste valable pour les années suivantes.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $96 \e^{0,104x}\geq 250$.
	\item Donner une interprétation du résultat obtenu.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 7 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
 Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle  $\left]0:+\infty \right[$ par : 	$g(x)=\ln{x}+2x^2-3$.
	
Le tableau de variation de la fonction $g$ est donné ci-dessous :

\begin{center}
	\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture*}(11.5,2.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(11.5,2.5) \psline(0,1.7)(11.5,1.7) \psline(1.5,0)(1.5,2.5)\psline(1.9,0)(1.9,1.7)\psline(2.1,0)(2.1,1.7)
\rput(0.75,2.1){$x$} \rput(2,2.1){0}\rput(6.75,2.1){$\alpha$}\rput(11,2.1){$- \infty$} 
\rput(0.75,.85){$g$} \rput(2.5,.2){\rnode{A}{$- \infty$}} \rput(11,1.4){\rnode{B}{$+ \infty$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncput*{0} 
\end{pspicture*}
\end{center}

En utilisant une calculatrice on a obtenu $\alpha \approx 1,19$.
 
Dresser le tableau donnant le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]0:+\infty \right[$.

\item  On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0:+\infty \right[$  par  $f(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{\ln x}{x} +2x-5$.

On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.
	\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\end{enumerate}

  \item On note $f'$  la fonction dérivée de la fonction $f$.
  
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$  et montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0:+\infty \right[$, on a  $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
	\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0:+\infty \right[$ et dresser son tableau de variations.
	\item Déterminer le signe de $f(x)$  pour tout réel $x$ supérieur ou égal à e.
	
	\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0:+\infty \right[$ par $h(x)=\left(\ln {x}\right)^2$. 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la dérivée $h'$ de $h$.
	\item En remarquant que pour tout $x$ de l'intervalle $\left]0:+\infty \right[$, on a : $f(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{2} h'(x) +2x-5$, trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0:+\infty \right[$.
	\item Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\e$  et $x=\e^2$ (\textit{On donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième}).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

       
\end{document}