\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
%\usepackage{graphicx} % inclure le fichier graphique de pondichery 2010
%\usepackage{picins}
%\usepackage{hyperxmp}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{slashbox}
\usepackage {array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
%\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-3dplot}
%\usepackage{ifthen}
%\usepackage{calc}
%\usepackage{esvect}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath}} \right)$}
%\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec {\imath},\vec {\jmath} ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
%\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
%\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2008 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Polynésie}}\\(Deuxième session)}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Polynésie 2008\\(Deuxième session)}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (3 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. 

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}

\medskip 

\emph{Barème : une réponse exacte rapporte $0,5$~point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item  $\e^{-2\ln 3}$  est égal à :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $\dfrac{2}{3}$ &\textbullet \quad  $\dfrac{1}{9}$ & \textbullet \quad  9\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item	L'ensemble des solutions dans $\R$ de l'inéquation $\e^{3x} - 1  \geq 0$ est l'intervalle :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $[0 ; + \infty[$ & \textbullet \quad  $[1 ; + \infty[$ & \textbullet \quad  $\left[\dfrac{1}{3} ; + \infty \right[$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item	Une primitive de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$  par $f(x)~=~\ln~x~+~1$ est :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $x \mapsto x\ln x + x$ & \textbullet \quad  $x \mapsto x\ln x$ & \textbullet \quad  $x \mapsto \dfrac{1}{x}$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item	Le prix TTC (toutes taxes comprises) d'un article est 299~\euro. Sachant que le taux de la TVA est de 19,6\:\%, son prix HT (hors taxes) est :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  240,40~\euro & \textbullet \quad  250~\euro & \textbullet \quad  279,40~\euro\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item	Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux évènements indépendants A et B tels	que $P(\text{A}) =  0,6$ et $P(\text{B}) = 0,2$.	On a alors :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $P(\text{A} \cup \text{B})=0,8$ & \textbullet \quad  $P(\text{A} \cup \text{B})= 0,68$ & \textbullet \quad  $P(\text{A} \cup \text{B})= 0,92$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item	$\left(U_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique telle que : $U_{0} =  2$ et $U_{8} =  32$. Sa raison est égale à :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $\sqrt{2}$ & \textbullet \quad  2 & \textbullet \quad  4\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 On considère un groupe de 2000~lecteurs, tous abonnés à une des revues la \emph{Drosera}, \emph{l'Iguane} ou le \emph{Nénuphar}. Chacun d'eux n'est abonné qu'à une revue et ne lit que celle-là.

 Parmi ces abonnés :
 \begin{itemize}
\item  400~abonnés lisent la \emph{Drosera}, et 20\:\% des abonnés à la \emph{Drosera} sont des femmes ;
\item  700~abonnés lisent \emph{l'Iguane} et 30\:\% des abonnés à \emph{l'Iguane} sont des femmes ;
\item  les autres abonnés lisent le \emph{Nénuphar} et 60\:\% des abonnés au \emph{Nénuphar} sont des femmes.
\end{itemize}

\medskip 

On choisit un lecteur au hasard parmi ces abonnés.

 On note par D, I, N, F et H les évènements suivants :
 
\begin{itemize}
\item[]  D : \og l'abonné lit la \emph{Drosera} \fg ;
\item[]  I : \og l'abonné lit \emph{l'Iguane} \fg ;
\item[]  N :  \og l'abonné lit le \emph{Nénuphar} \fg ;
\item[]  F : \og l'abonné est une femme \fg ;
\item[]  H : \og l'abonné est un homme \fg.
\end{itemize}

\medskip 

\begin{enumerate}
	\item Traduire les données de l'exercice à l'aide d'un arbre de probabilité.
	 \item	 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant la \emph{Drosera}.		
		\item  Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant \emph{l'Iguane}.		
		\item  Démontrer que la probabilité que l'abonné soit une femme est égale à 0,415.
\end{enumerate}
\item Sachant que l'abonné choisi est une femme, calculer la probabilité qu'il soit lecteur de la \emph{Drosera} (\emph{le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième}).
		\item On interroge au hasard et de façon indépendante trois abonnés.
	
	Quelle est la probabilité qu'aucun des abonnés ne soit une femme lectrice du \emph{Nénuphar} (\emph{le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième}) ?
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 \textbf{\textsf {\textsc {partie a}}}

\medskip

Soit la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par la donnée de son premier terme $U_{0} =  14~000$ et par la relation :

\[\text{pour tout entier naturel}~ n,~ U_{n+1} = 1,04 \times  U_{n} +200.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$.
\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_{n} = U_{n} + 5~000$.	

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $V_{0}$.
		\item  Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_{n}$.
		
		En déduire que la suite $\left(V_{n}\right)$	est une suite géométrique dont on précisera le premier terme 	et la raison.	
			
		\item  Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$.		
		\item  En déduire que $U_{n}  = 19~000 \times (1,04)^n  - 5~000$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsf {\textsc {partie b}}}

\medskip

On suppose que $U_{n}$ représente le salaire annuel d'une personne pour l'année $2002 + n$, $n$ étant un entier naturel.

\begin{enumerate}
\item  Calculer le salaire annuel, arrondi à l'euro, de la personne en 2010.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$  l'inéquation d'inconnue $x$ : $1,04^x \geq \dfrac{33}{19}$.		
		\item  À partir de quelle année  le salaire annuel de cette personne aura-t-il doublé par rapport à celui de 2002 ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $f(x) =  \e^{x - 1} + x - 1$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip

\textbf{\textsf {\textsc {partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$ et $f(1)$. \emph{On donnera les valeurs exactes}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la limite de $f$ en $- \infty$.		
		\item  Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$.		
		\end{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsf {\textsc {partie b}}}

\medskip


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ réel et étudier son signe sur $\R$.		
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
			\end{enumerate}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle $[0  ;  1]$ l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha$.		
		\item  Donner une valeur, arrondie au centième, de $\alpha$.		
		\item Préciser le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
 	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsf {\textsc {partie c}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
\item  Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\mathrm{d}x$.

Donner la valeur exacte de $I$, puis une valeur décimale arrondie au centième.

Donner une interprétation graphique de cette intégrale.
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 Le tableau suivant donne l'évolution de la population de l'Inde de 1951 à 1991.

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année & 1951 &	1961 &	1971 &	1981 & 	1991\\ \hline
Rang $x_{i}$ & 1 &	2 &	3 &	4 &	5\\ \hline
Population $y_{i}$ (en millions) & 361 &	439 &	548 &	683 & 	846 \\ \hline
$z_{i}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & & & & &  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On cherche à étudier l'évolution de la population $y$ exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang $x$ de l'année.

\begin{enumerate}
\item  Représenter graphiquement le nuage de points $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques 1~cm pour 1 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 100~ millions sur l'axe des ordonnées.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. 
		\item En utilisant cet ajustement, déterminer la population de l'Inde que l'on pouvait prévoir pour 2001, c'est-à-dire pour $x = 6$ (\emph{le résultat sera arrondi au million}).	
	\end{enumerate}
\item	On cherche un autre ajustement et on se propose d'utiliser le changement de variable suivant : $z = \ln y$.	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier le tableau ci-dessus et compléter la dernière ligne (\emph{les valeurs seront arrondies au millième}).	
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de $z$ en fonction de $x$ par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis au millième}).	
		\item En déduire qu'une approximation de la population $y$, exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang $x$ de l'année est donnée par : $y \approx  289\e^{0,215x}$.		
		\item En utilisant cet ajustement, calculer la population que l'on pouvait prévoir pour 2001(\emph{le résultat sera arrondi au million}).	
	\end{enumerate}
\item	Les résultats obtenus en 2001 ont révélé que la population comptait 1027~millions d'habitants.

Déterminer une estimation de la population, arrondie au million d'habitants, en 2011 en choisissant le modèle qui semble le plus approprié. Justifier ce choix.
 \end{enumerate}
 
         
\end{document}