On a relevé lors de six années consécutives le chiffre d'affaire d'une entreprise de prêt-à-porter de luxe créée en 2000. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :
Année | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
Rang de l'année, | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Chiffre d'affaire (en euros) | 160 000 | 220 000 | 290 000 | 390 000 | 540 000 | 730 000 |
Pour on pose .
Recopier et compléter le tableau suivant (donner une valeur approchée arrondie à 10−2 près de chacun des résultats) :
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
11,98 | 12,3 | 12,58 | 12,87 | 13,2 | 13,5 |
Représenter sur du papier millimétré le nuage de points associés à la série statistique dans un repère orthonormal du plan (unité : 2 cm en commençant à la graduation 10 sur l'axe des ordonnées).
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (on obtiendra une équation de la forme où les coefficients a et b seront arrondis à 10−2 près).
Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : (les coefficients sont arrondis à 10−2 près)
Déduire de ce qui précède une expression de y en fonction de x sous la forme , où k est un réel à déterminer et a le coefficient trouvé à la question précédente (le coefficient k sera arrondi à l'unité).
Par définition, pour tout réel , d'où
Or l'arrondi à l'entier le plus proche de est 118 184.
On peut modéliser l'expression de y en fonction de x sous la forme
On note C la fonction définie sur l'intervalle par : .
Résoudre par le calcul l'inéquation .
L'ensemble S solution de l'inéquation est
On admet que représente le chiffre d'affaire de l'entreprise pour l'année de rang .
Quel chiffre d'affaire peut-on prévoir pour l'année 2008 (on arrondira le résultat au millier d'euros près) ?
À partir de quelle année le chiffre d'affaire dépassera-t-il 2 millions d'euros ?
Le rang de l'année 2008 est 8 d'où une estimation du chiffre d'affaire de
Arrondi au millier d'euros près, on peut prévoir pour l'année 2008 un chiffre d'affaire de 1 323 000 euros.
Le rang de l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaire dépassera 2 millions d'euros est le plus petit entier n tel que . Soit d'où .
Le chiffre d'affaire dépassera 2 millions d'euros à partir de 2010.
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