Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On a relevé lors de six années consécutives le chiffre d'affaire d'une entreprise de prêt-à-porter de luxe créée en 2000. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Année 200120022003200420052006
Rang de l'année, xi123456
Chiffre d'affaire yi (en euros)160 000220 000290 000390 000540 000730 000
  1. Pour i=1,2,,5 on pose zi=lnyi.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant (donner une valeur approchée arrondie à 10−2 près de chacun des résultats) :

      xi123456
      zi=lnyi11,9812,312,5812,8713,213,5
    2. Représenter sur du papier millimétré le nuage de points associés à la série statistique (xi;zi) dans un repère orthonormal du plan (unité : 2 cm en commençant à la graduation 10 sur l'axe des ordonnées).

      Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    3. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (on obtiendra une équation de la forme z=ax+b où les coefficients a et b seront arrondis à 10−2 près).

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : z=0,3x+11,68 (les coefficients sont arrondis à 10−2 près)


    4. Déduire de ce qui précède une expression de y en fonction de x sous la forme y=keax, où k est un réel à déterminer et a le coefficient trouvé à la question précédente (le coefficient k sera arrondi à l'unité).

      Par définition, pour tout réel y>0, z=lnyy=ez d'où z=lny et z=0,3x+11,68y=e0,3x+11,68y=e11,68×e0,3x

      Or l'arrondi à l'entier le plus proche de e11,68 est 118 184.

      On peut modéliser l'expression de y en fonction de x sous la forme y=118 184e0,3x


  2. On note C la fonction définie sur l'intervalle [0;+[ par : C(x)=120 000e0,3x.

    1. Résoudre par le calcul l'inéquation C(x)2 000 000.

      C(x)2 000 000120 000e0,3x2 000 000e0,3x2 000 000120 0000,3xln503xln50-ln30,3

      L'ensemble S solution de l'inéquation C(x)2 000 000 est S= [ln50-ln30,3;+[


    2. On admet que C(xi) représente le chiffre d'affaire de l'entreprise pour l'année de rang xi.
      Quel chiffre d'affaire peut-on prévoir pour l'année 2008 (on arrondira le résultat au millier d'euros près) ?
      À partir de quelle année le chiffre d'affaire dépassera-t-il 2 millions d'euros ?

      Le rang de l'année 2008 est 8 d'où une estimation du chiffre d'affaire de 120 000e0,3×81 322 781

      Arrondi au millier d'euros près, on peut prévoir pour l'année 2008 un chiffre d'affaire de 1 323 000 euros.


      Le rang de l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaire dépassera 2 millions d'euros est le plus petit entier n tel que C(n)2 000 000. Soit nln50-ln30,39,4 d'où n=10.

      Le chiffre d'affaire dépassera 2 millions d'euros à partir de 2010.



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