sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;1000\right]$ par $f\left(x\right)=\mathrm{89,5}-\mathrm{8,9}\ln \left(x+\mathrm{0,3}\right)$ et dont on donne la courbe représentative dans un repère orthogonal du plan (voir figure 1).

1. Démontrer que la fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left[0;1000\right]$.

2. Montrer que résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽45$ revient à résoudre l'inéquation $\ln \left(x+\mathrm{0,3}\right)⩾5$. Résoudre cette inéquation.

3. 1. Démontrer que la fonction g définie sur l'intervalle $\left[0;1000\right]$ par :$$g\left(x\right)=\mathrm{98,4}x-\mathrm{8,9}\left(x+\mathrm{0,3}\right)\ln \left(x+\mathrm{0,3}\right)$$ est une primitive de f sur l'intervalle $\left[0;1000\right]$.

      Vérifier que $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$

   2. On rappelle que la valeur moyenne m de f sur un intervalle $\left[a;b\right]$ ( a et b étant deux éléments distincts de l'ensemble de définition de f ), est donnée par : $m={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
      Déterminer la valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[200;800\right]$ (on donnera une valeur approchée de ce résultat arrondi à l'unité).

figure 1

partie b

Une éolienne doit être installée à proximité d'un village dont les habitants s'inquiètent de la nuisance sonore occasionnée. L'entreprise chargée de la fabrication de l'éolienne transmet donc les renseignements suivants :

• au centre de l'éolienne (centre du rotor), le niveau sonore est d'environ 100 décibels (dB).
• lorsqu'on s'éloigne de x mètres du centre de l'éolienne, le niveau sonore est donné, en dB, par $f\left(x\right)$ (défini à la partie A).

1. En utilisant le graphique donné, déterminer à quelle distance du centre de l'éolienne on doit être situé pour percevoir un niveau sonore inférieur à 40 dB.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Le centre du rotor de l'éolienne est situé à 70 m de hauteur (voir le schéma donné ci-dessous). Un sonomètre (qui mesure le volume sonore) est posé sur le sol à une certaine distance du pied de l'éolienne.
   À quelle distance du pied de l'éolienne doit-t-on le placer pour que le niveau sonore enregistré soit égal à 45 dB ? (le résultat sera arrondi à l'unité)
   Expliquer la démarche suivie.

   Soit d la distance du sonomètre au pied de l'éolienne. D'après le théorème de Pythagore, la distance x du sonomètre au centre du rotor est telle que : $$x^2=d^2+{70}^2$$

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