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  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2008 \\ Série ES}}} %droit
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\lfoot{La Réunion 2008}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 Pour chacune des quatre propositions de ce QCM, une et une seule des affirmations est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$~point. Une réponse inexacte enlève $0,25$~point. L'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée \`a $0$.}

\medskip

Chacune des quatre propositions concerne une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5 ;  6]$, qui admet des primitives sur cet intervalle et dont on donne ci-dessous le tableau de variations :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture*}(14.5,3.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(14.5,3.5) \psline(0,2.5)(14.5,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,3.5)
\rput(0.75,3){$x$} \rput(2,3){$- 5$}\rput(5,3){$-3$} \rput(8,3){2} \rput(11,3){4} \rput(14,3){6} 
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,2){\rnode{A}{3}} \rput(5,.5){\rnode{B}{1}} \rput(8,2){\rnode{C}{4}} \rput(11,.5){\rnode{D}{$-2$}} \rput(14,2){\rnode{E}{0}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncline{C}{D}  \ncline{D}{E} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $2 < a < b < 4$, alors :
	\begin{enumerate}
		\item $f(a) > f(b)$
		\item $f(a) < f(b)$
		\item on ne peut pas comparer $f(a)$ et $f(b)$.
		\end{enumerate}
\item  Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ est :
\begin{enumerate}
		\item  1
		\item  2
		\item  3
		\end{enumerate}
		\item  
	\begin{enumerate}
		\item  $\displaystyle\int_{4}^5 f(x)\:\mathrm{d}x < 0$
		\item $\displaystyle\int_{4}^5 f(x)\:\mathrm{d}x < 0$	
		\item avec les données, on ne peut pas connaître le signe de $\displaystyle\int_{4}^5 f(x)\:\mathrm{d}x$
		\end{enumerate}
		\item Si $g$ est la fonction définie sur $[- 5 ;  6]$ par $g(x) = \dfrac{1}{2}x - 1$, alors :
		\begin{enumerate}
		\item  l'équation $f(x) = g(x)$ n'a pas de solution	
		\item  l'équation $f(x) = g(x)$ a une unique solution
		\item  on ne peut pas se prononcer sur le nombre de solutions de l'équation $f(x) = g(x)$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 On a relevé lors de six années consécutives le chiffre d'affaire d'une entreprise de prêt-à-porter de luxe créée en 2000. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant~:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année				& 2001	& 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$	& 1 &	2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline
Chiffre d'affaire $y_{i}$ (en~euros)& 160 000 & 220 000 & 290 000 & 390 000 & 540 000 & 730 000\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour $i = 1, 2, \ldots, 5$ on pose $z_{i} = \ln y_{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant (donner une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de chacun des résultats) :
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$		& 1	& 2	& 3	& 4	& 5 &6\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} 	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
		
\medskip
				\item Représenter sur du papier millimétré le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ;  z_{i}\right)$ dans un repère orthonormal du plan (unité 2~cm en commençant à la graduation 10 sur l'axe des ordonnées).
				\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on obtiendra une équation de la forme $z = ax + b$ où les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-2}$ près).	
				\item Déduire de ce qui précède une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k\e^{ax}$, où $k$ est un réel à déterminer et $a$ le coefficient trouvé à la question précédente (le coefficient $k$ sera arrondi à l'unité).
				\end{enumerate}
				\item  On note $C$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par $C(x) = 120~000~\e^{0,3x}$.
		\begin{enumerate}
		\item Résoudre par le calcul l'inéquation $C(x) \geq   2~000~000$.
		\item  On admet que $C(x)$ représente le chiffre d'affaire de l'entreprise pour l'année de rang $x_{i}$.
		
		Quel chiffre d'affaire peut-on prévoir pour l'année 2008 (on arrondira le résultat au millier d'euros près) ?
		
		À partir de quelle année le chiffre d'affaire dépassera-t-il 2 millions d'euros ?
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 Les joueurs d'un club de football sont partagés en deux équipes : une équipe A et une équipe B.

L'entraîneur change la composition de ces équipes après chacun des matchs, suivant les performances des joueurs.
 
 \medskip
 
 Une étude statistique menée au cours des saisons précédentes permet d'estimer que :
 \begin{itemize}
\item si un joueur fait partie de l'équipe A, la probabilité qu'il reste dans cette équipe pour le match suivant est $0,6$ ;
\item si un joueur fait partie de l'équipe B, la probabilité qu'il change d'équipe le match suivant est $0,2$.
\end{itemize}
 
 \medskip
 

\begin{enumerate}
\item Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition.
\item Pour un entier naturel $n$ donné, on note $P_n = {\begin{pmatrix} a_n  & b_n  \\ \end{pmatrix} }$  la matrice ligne décrivant l'état probabiliste lors du match $n$.

Paul vient d'arriver dans le club et la probabilité $a_{0}$ qu'il joue dans l'équipe A pour le match de préparation (match~0) est $0,1$.

L'état probabiliste initial est donc $P_{0} ={\begin{pmatrix} 0,1 & 0,9  \\ \end{pmatrix} }$.	

\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $P_{1} ={\begin{pmatrix} 0,24 & 0,76  \\ \end{pmatrix} }$ et calculer $P_{2}$.
		\item  Quelle est la probabilité que Paul joue dans l'équipe A lors du deuxième match de championnat (match~2) ? (on donnera la valeur approchée du résultat arrondie à $10^{-2}$ près)
	 \end{enumerate}
	 \item 	On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $a_{n+1} = 0,4a_{n} + 0,2$. On pose, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n} = a_{n} - \dfrac{1}{3}$.
	 	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,4$ et de premier terme $v_{0} = \dfrac{- 7}{30}$.
		\item  Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que, pour tout entier naturel $n$ : $a_{n}  = \dfrac{1}{3}\left(1 - 0,7 \times 0,4^n\right)$
		\item Déduire de ce qui précède la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. Quel est l'état stable du graphe G ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 Les membres d'un jeune groupe de musique présentent une chanson lors d'une audition. Dans le morceau qu'ils jouent, il y a un passage délicat sur lequel ils ne sont pas tout à fait au point.

En effet :

\begin{itemize}
\item le guitariste joue parfaitement ce morceau trois fois sur quatre ;
\item la chanteuse échoue dans 50\:\% des cas si le guitariste se trompe et, sinon, elle commet des erreurs une fois sur cinq.
\end{itemize}

Les autres musiciens maîtrisent parfaitement leur partition.

\medskip

On appelle G l'évènement \og le guitariste joue parfaitement le morceau \fg.

 On appelle C l'évènement \og la chanteuse interprète le morceau sans faire d'erreur \fg.

\medskip
 
 \begin{enumerate}
\item Dessiner un arbre de probabilités qui modélise la situation décrite précédemment.\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité $P(\text{G} \cap \text{C})$ que le groupe interprète la chanson sans erreur.
		\item   Calculer la probabilité qu'un, et un seul, des membres du groupe se trompe.
		\item   Déterminer la probabilité que la chanteuse interprète sans erreur le morceau.
		\end{enumerate}
		\item	Calculer $P_{\text{C}}(\text{G})$ (on arrondira le résultat à $10^{-3}$ près) et interpréter concrètement ce résultat.
		\item	On admet que la probabilité qu'aucun des membres du groupe ne commette d'erreur est $0,6$. Le groupe participe avec sa chanson à trois concours, les trois prestations était indépendantes les unes des autres. 
		
		Quelle est la probabilité qu'ils jouent parfaitement à au moins l'un des trois concours ?
		\end{enumerate}
		
\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 1000]$ par $f(x) = 89,5 - 8,9 \ln(x + 0,3)$  et dont on donne la courbe représentative dans un repère orthogonal du plan (voir Annexe figure I).

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[0 ; 1000]$.
\item 	Montrer que résoudre l'inéquation $f(x) \leq  45$ revient à résoudre l'inéquation $\ln(x + 0,3) \geq 5$. Résoudre cette inéquation.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 1000]$ par : 
		\[g(x) = 98,4x - 8,9(x+0,3)\ln (x + 0,3)\] est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 1000]$.	
		\item  On rappelle que la valeur moyenne $m$ de $f$ sur un intervalle $[a  ;  b]$ ($a$ et $b$ étant deux éléments distincts de l'ensemble de définition de $f$, est donnée par : $m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\:\mathrm{d}x$.
		
		 Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[200 ; 800]$ (on donnera une valeur approchée de ce résultat arrondi à l'unité).
 	\end{enumerate}
 	\end{enumerate}
 	
\medskip

\textbf{\textsf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une éolienne doit être installée à proximité d'un village dont les habitants s'inquiètent de la nuisance sonore occasionnée. L'entreprise chargée de la fabrication de l'éolienne transmet donc les renseignements suivants :

\begin{itemize}
\item au centre de l'éolienne (centre du rotor), le niveau sonore est d'environ 100~décibels (dB).
\item  lorsqu'on s'éloigne de $x$ mètres du centre de l'éolienne, le niveau sonore est donné, en dB, par $f(x)$ (défini à la partie A).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer à quelle distance du centre de l'éolienne on doit être situé pour percevoir un niveau sonore inférieur à 40~dB.
\item 	\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Le centre du rotor de l'éolienne est situé à $70$~m de hauteur (voir le schéma donné en annexe).

 Un sonomètre (qui mesure le volume sonore) est posé sur le sol à une certaine distance du pied de l'éolienne. 
 
 \`A quelle distance du pied de l'éolienne doit-t-on le placer pour que le niveau sonore enregistré soit égal à $45$~dB (le résultat sera arrondi à l'unité) ? 
 
 Expliquer la démarche suivie.
 \end{enumerate}
 
 \medskip
 \begin{center}
  
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture*}(0,-1)(10,6.5)
\psline[linewidth=4pt](2,0)(2,4.5)
\psrotate(2,4.5){10}{%
\pscurve(2,4.5)(4.45,4.45)(4.5,4.5)(4.45,4.55)(2,4.5)
}
\psrotate(2,4.5){130}{%
\pscurve(2,4.5)(4.45,4.45)(4.5,4.5)(4.45,4.55)(2,4.5)
}
\psrotate(2,4.5){250}{%
\pscurve[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,4.5)(4.45,4.45)(4.5,4.5)(4.45,4.55)(2,4.5)
}

\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,4.5)(.4,.2)
\psframe(8.35,0)(8.65,0.4)
\pscircle(8.5,0.55){0.15}
\psframe[linewidth=0.5pt](2,0)(2.25,0.25)
\psline{-}(2,0)(8.5,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](8.5,0)(2,4.5)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](.75,4.5)(2,4.5)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](.75,0)(2,0)
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(.75,0)(.75,4.5)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](2,0)(2,-.5)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](8.5,0)(8.5,-.5)
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(2,-.5)(8.5,-.5)
\rput{90}(0.5,2.25){70~m}
\rput[t](5.25,-.1){$d$}
\rput[b](5.5,2.25){$x$}
\rput(8.5,1){\textsf {\small{Sonomètre}}}
\end{pspicture*}

 
 \hspace{-.5cm}

\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(21,14)
\rput(11,13.5){\textbf{\textsf{\textsc{annexe}}}}
\rput(11,12.75){Courbe représentative de $f$}
\newgray{gray}{.75}
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\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
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\def\f{89.5-8.9*ln(x+.3)}
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\psset{xunit=0.016cm,yunit=0.08cm}
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\uput[d](1040,0){$x$} \uput[l](-2,117){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{1000}{\f}
\end{pspicture*}



 \end{center}
       
\end{document}