sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un nouveau bachelier souhaitant souscrire un prêt automobile pour l'achat de sa première voiture, a le choix entre les trois agences bancaires de sa ville : agence A, agence B et agence C.
On s'intéresse au nombre de prêts automobiles effectués dans cette ville.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

1. En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

   Une équation de la droite d d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{0,8}x+\mathrm{47,2}$ .

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2. Combien de prêts automobiles peut-on prévoir pour le mois de décembre 2009 avec cet ajustement ? On arrondira le résultat à l'entier le plus proche.

   Le rang du mois de décembre 2009 est 12. D'où une estimation du nombre de prêts automobiles : $$\mathrm{0,8}\times 12+\mathrm{47,2}=\mathrm{56,8}$$

   Avec cet ajustement, on estime qu'il y aura 57 prêts automobiles effectués dans l'agence B au mois de décembre 2009.

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partie b

Dans tout l'exercice, on donnera les valeurs exactes.

1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

   • Les autres prêts étant souscrits dans l'agence C, nous avons $$\begin{array}{ccc}p\left(\mathrm{C}\right)=1-\left(p\left(\mathrm{A}\right)+p\left(\mathrm{B}\right)\right)& \text{Soit}& p\left(\mathrm{C}\right)=1-\left(\mathrm{0,2}+\mathrm{0,45}\right)=\mathrm{0,35}\end{array}$$

   • ${\displaystyle \frac{2}{7}}$ des clients de l'agence C ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Speed d'où $$\begin{array}{ccc}{p}_{\mathrm{C}}\left(\mathrm{Z}\right)=1-p_{\mathrm{C}}\left(\mathrm{S}\right)& \text{Soit}& p_{\mathrm{C}}\left(\mathrm{Z}\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}\end{array}$$

2. Déterminer la probabilité que le client interrogé ait souscrit un prêt automobile avec une assurance Zen dans l'agence A.

   $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{Z}\right)& =& p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{Z}\right)\times p\left(\mathrm{A}\right)\\ & =& \mathrm{0,8}\times \mathrm{0,2}\\ & =& \mathrm{0,16}\end{array}$$

   La probabilité que le client interrogé ait souscrit un prêt automobile avec une assurance Zen dans l'agence A est égale à 0,16.

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3. Vérifier que la probabilité de l'évènement Z est égale à 0,545.

   Nous avons : $$\begin{array}{llll}& p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{Z}\right)=p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{Z}\right)\times p\left(\mathrm{B}\right)& \text{et}& p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{Z}\right)=p_{\mathrm{C}}\left(\mathrm{Z}\right)\times p\left(\mathrm{C}\right)\\ \text{Soit}& p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{Z}\right)=\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,45}=\mathrm{0,135}& & p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{Z}\right)={\displaystyle \frac{5}{7}}\times \mathrm{0,35}=\mathrm{0,25}\end{array}$$

   Les évènements A, B et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{ll}& p\left(\mathrm{Z}\right)=p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{Z}\right)+p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{Z}\right)+p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{Z}\right)\\ \text{Soit}& p\left(\mathrm{Z}\right)=\mathrm{0,16}+\mathrm{0,135}+\mathrm{0,25}=\mathrm{0,545}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité de l'évènement Z est égale à 0,545

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4. Le client a souscrit une assurance Zen. Déterminer la probabilité que le prêt soit souscrit dans l'agence C.

   $$\begin{array}{lll}{p}_{\mathrm{Z}}\left(\mathrm{C}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{Z}\cap \mathrm{C}\right)}{p\left(\mathrm{Z}\right)}}& \text{Soit}& p_{\mathrm{Z}}\left(\mathrm{C}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}}{\mathrm{0,545}}}={\displaystyle \frac{50}{109}}\end{array}$$

   Sachant que le client a souscrit une assurance Zen, la probabilité qu'il a souscrit un prêt dans l'agence C est égale à ${\displaystyle \frac{50}{109}}$

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