sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes. Le candidat pourra utiliser les résultats préliminaires dans la partie A, même s'il ne les a pas établis.

préliminaires

1. Calculer $g\prime \left(x\right)$.

   La fonction dérivée de g est la fonction $g\prime$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{6}{x}}-6x^2$.

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2. En utilisant 1., déterminer le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. On ne demande pas les limites dans cette question.

   Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée $g\prime$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

   x		0		1		$+\infty$
   Signe de $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{6}{x}}-6x^2$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $g\left(x\right)$				− 5

   Calcul du maximum $$g\left(1\right)=6\times \ln 1-2\times 1^3-3=-5$$

3. En déduire que $g\left(x\right)<0$ pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$.

   Le maximum de la fonction g est égal à − 5 donc pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}g\left(x\right)⩽-5& \Rightarrow & g\left(x\right)<0\end{array}$$

   Ainsi, $g\left(x\right)<0$ pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$.

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partie a

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x+{\displaystyle \frac{3\ln x}{2x^2}}$.

1. Déterminer les limites de f en $+\infty$ et en 0.

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }x+{\displaystyle \frac{3\ln x}{2x^2}}=+\infty$. Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

   • $\underset{x\to 0}{\lim }3\ln x=-\infty$ et $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{2x^2}}=+\infty$ alors par produit, $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{3\ln x}{2x^2}}=-\infty$. Donc $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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2. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

   1. Montrer que, pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{2x^3}}$

      Pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$, $x+{\displaystyle \frac{3\ln x}{2x^2}}={\displaystyle \frac{2x^3+3\ln x}{2x^2}}$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, posons $$\begin{array}{cccc}& u\left(x\right)=2x^3+3\ln x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=6x^2+{\displaystyle \frac{3}{x}}\\ \text{et}& v\left(x\right)=2x^2& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=4x\end{array}$$

      Alors $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ et $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime \times v-u\times v\prime }{v^2}}$.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(6x^2+{\displaystyle \frac{3}{x}}\right)\times 2x^2-\left(2x^3+3\ln x\right)\times 4x}{{\left(2x^2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{12x^4+6x-8x^4-12x\ln x}{4x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4x^4+6x-12x\ln x}{4x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^3+6-6\ln x}{2x^3}}\\ & =& -{\displaystyle \frac{6\ln x-2x^3-6}{2x^3}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{2x^3}}$.

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   2. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $2x^3>0$ et $g\left(x\right)<0$ d'où $-{\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{2x^3}}>0$. Donc $f\prime \left(x\right)>0$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ et f est strictement croissante sur cet intervalle.
      D'où le tableau de variation de f :

      x		0				$+\infty$
      $f\left(x\right)$			$-\infty$		$+\infty$

partie b

1. On définit la fonction F sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times {\displaystyle \frac{1+\ln x}{x}}$. Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   Dire que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ signifie que pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   • Calculons la dérivée de la fonction h définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{1+\ln x}{x}}$. $h={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=1+\ln x& & u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x& & v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

     D'où $$h\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\times x-\left(1+\ln x\right)}{x^2}}={\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}$$

   • Calculons la dérivée de la fonction F$$F\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times {\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}=x+{\displaystyle \frac{3\ln x}{2x^2}}$$

   Ainsi, pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

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2. On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f notée $C_f$. On a colorié le domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}$.
   Donner la valeur exacte, exprimée en unités d'aire, de l'aire de ce domaine, puis une valeur approchée arrondie au centième.

   • f est dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ donc f est continue sur cet intervalle.

   • La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ et $f\left(1\right)=1+{\displaystyle \frac{3\ln 1}{2\times 1^2}}=1$ . Donc f est positive sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$

   Ainsi, sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$ , la fonction f est continue et positive donc l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}$ est : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(\mathrm{e}\right)-F\left(1\right)\\ & =& \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{e}}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times {\displaystyle \frac{1+\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}}\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\times 1^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times {\displaystyle \frac{1+\ln 1}{1}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{\mathrm{e}}}+1\end{array}$$

   L'aire du domaine colorié est égale à $\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{\mathrm{e}}}+1\right)$ unités d'aire soit arrondi au centième 3,59 unités d'aire.

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