Baccalauréat novembre 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n par un+1=2un+43

  1. Calculer u1, u2 et u3.

    D'après la relation de récurrence, u1=2u0+43Soitu1=2×1+43=2u2=2u1+43Soitu2=2×2+43=83u3=2u2+43Soitu3=2×83+43=289

  2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;𝚤,𝚥) (unités graphiques : 2 cm).
    Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;+[ par f(x)=2x+43.

    1. Tracer la représentation graphique d de la fonction f ainsi que la droite Δ d'équation y=x.

    2. En utilisant d et Δ, construire u1, u2 et u3.

      Construction des termes de la suite : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    3. Conjecturer limx+un à l'aide de la construction, que l'on peut imaginer, d'un grand nombre de termes de la suite (un).

      Si la suite (un) converge vers une limite quand n tend vers l'infini alors est solution de l'équation : =2+43=4

      Graphiquement, cela signifie que si la suite (un) converge vers une limite quand n tend vers l'infini alors est l'abscisse du point d'intersection des droites d'équations y=2x+43 et y=x.

      La suite (un) semble converger vers 4.


  3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn=un-4.

    1. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      Pour tout entier naturel n : vn+1=un+1-4=2un+43-4=2un-83=23×(un-4)=23vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=23vn. Donc la suite (vn) est une suite géométrique de raison 23.

      Le terme initial de la suite (vn) est : v0=u0-4Soitv0=1-4=-3

      La suite (vn) est une suite géométrique de raison 23 et de premier terme v0=-3


    2. Exprimer vn en fonction de n et en déduire que un=4-3(23)n.

      La suite (vn) est une suite géométrique de raison 23 et de premier terme v0=-3, alors pour tout entier naturel n, vn=-3×(23)n.

      Or pour tout entier naturel n, vn=un-4. D'où pour tout entier naturel n, -3×(23)n=un-4un=4-3(23)n

      Ainsi, pour tout entier naturel n, un=4-3(23)n.


    3. Quelle est la limite de la suite (un) ?

      0<23<1 donc limn+(23)n=0 d'où limn+4-3(23)n=4

      limn+un=4 alors la suite (un) converge vers 4.



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