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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2009 \\ Série ES}}} %droit
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\lfoot{Antilles Guyane 2009\\(Deuxième session)}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \og Un accroissement de population de 1,8\:\% par an peut paraître faible, il correspond pourtant à un doublement de la population en 40 ans \fg.
 
Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier. 
\item D'après l'INED (Institut National d'Etudes Démographiques), la population mondiale a suivi l'évolution suivante :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
année &1960 &1970 &1980 &1990 &2000  \\ \hline
Rang : $x_{i}$ $(0 \leqslant x_{i} \leqslant  40)$ & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 \\ \hline
Population : $y_{i}$ en millions d'habitants & 3014 &  3683  & 4453  & 5201  & 6080  \\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $T$, le taux d'évolution en pourcentage de la population mondiale entre 1960 et 2000 (arrondir à 0,1\:\% près). 
		\item  On appelle $t$ le taux d'évolution moyen annuel, en \%, entre 1960 et 2000. 
		
		Montrer que $t$ vérifie $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{40} \approx  2,017$. En déduire une valeur approchée de $t$ (arrondie au dixième de pourcentage).
	\end{enumerate} 
\item On suppose qu'à partir de l'an 2000, le taux d'évolution annuel de la population reste constant et égal à 1,8\:\%. Donner une estimation de la population mondiale en 2008 à 100~millions près. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On décide de modéliser les données du tableau ci-dessus avec un ajustement affine.
		 
À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. 
		\item Calculer la population mondiale en millions d'habitants qui aurait dû être atteinte en 2008 d'après ce modèle (à 100 millions près).
	\end{enumerate} 
\item En fait, en 2008 on vient de dépasser 6,5~milliards d'habitants. Des deux estimations précédentes, laquelle est la plus proche de la réalité ? 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 
\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Reporter sur votre copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.}

 \emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} 

\psset{unit=.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1.1,-4.1)(8.05,6.05)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/(x*ln(x)-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(8,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-1,-4)(8,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){$x$} \uput[l](-0.05,5.8){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.71828,-4)(2.71828,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.068}{2.455}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{2.88}{8}{\f}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](1,-1)(2,-1.629)(2.958,4)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](2.71828,1)%ABCE
\uput[u](1,-1){\bleu $A$} \uput[ur](2,-1.629){\bleu $B$}\uput[ur](2.958,4){\bleu $C$}\uput[ul](2.71828,1){\prune $E$}\uput[l](2.71828,5.5){\prune $d$}\uput[r](0.1,-3.5){\bleu $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; \e[ \cup ]\e ; +\infty[$ et représentée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessus.
 
La fonction $f$ est dérivable sur chacun des intervalles de son ensemble de définition.
 
Les points $A(1~; -1)$ et $B\left(2 ; \dfrac{1}{ 2\ln 2 - 2}\right)$ appartiennent à $\mathcal{C}_{f}$. On désigne par $C$ le point de $\mathcal{C}_{f}$ d'ordonnée 4. 

La courbe admet pour asymptotes les axes du repère ainsi que la droite $d$ parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point $E(\e ; 1)$. 

\medskip

\textbf{Pour chacune des questions ci-dessous une seule réponse est exacte ; indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la bonne affirmation sans justifier votre choix.}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{itemize}
	\item[] $f(-1) = 1$
		\item[] $f(x) = 0$  possède une solution sur $]0 ; \e[ \cup ]\e ; 6[$
			\item[] $f(1) = -1$
\end{itemize}
\item Une équation d'une des asymptotes de $\mathcal{C}_{f}$ est :
\begin{itemize}
	\item[]$y= \e$
		\item[] $x= \e$
			\item[] $y = -1$
\end{itemize}

\item \begin{itemize}
	\item[]$f'(4) < 0$
		\item[] $f'(4) = 0,7$
			\item[] $f'(4) = 2,9$
\end{itemize}

\item \begin{itemize}
	\item[]$\displaystyle \int_{5}^6 f(x)\:\dd x < \int_{4}^5f(x)\:\dd x$
		\item[] $\displaystyle \int_{5}^6 f(x)\:\dd x > \frac{1}{2}$
			\item[] La valeur moyenne de $f$ sur $[4 ; 5$] est 2.
\end{itemize}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2 ; 3]$ par $ f(x) = a\e^x + bx + c$  où $a$, $b$  et $c$  sont des réels fixés.

Une partie de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ est représentée ci-dessous : 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-3.1,-3.1)(3.05,4.05)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2- Euler^x + 3*x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(3,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-3,-3)(3,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](2.8,0){$x$} \uput[l](-0.05,3.8){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2,-3)(1.5,4)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed, linecolor=prune](0,2.296)(1.0986,2.296)(1.0986,0)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.6}{2.54}{\f}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](0,1)(1.0986,2.296)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](1,3)%ABCE
\uput[r](0,1){\bleu $A$} \uput[u](1.0986,2.296){\bleu $D$}\uput[l](1,3){\prune $B$}
\uput[r](-1.4,-2.5){\bleu $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

On dispose des renseignements suivants :


\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}$ passe par $A(0 ; 1)$. 
\item $B$ est le point de coordonnées $(1 ;  3)$ ; la droite $(AB)$ est tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$. 
\item $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point $D$ d'abscisse $\ln 3$.
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Traduire les renseignements précédents par  trois égalités utilisant $f$ ou $f'$. 
\item En résolvant un système, déterminer $a$, $b$ et $c$. 
\item On admet à partir de maintenant que $f(x) = - \e^x + 3x + 2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[-2 ; 3]$. 
		\item Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $[-2 ; \ln 3]$ en un réel $\alpha$. Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de $\alpha$. 
		\item Pour la suite, on admet que $f$ s'annule exactement une fois sur $[\ln 3 ;  3]$ en un réel $\beta$. 
		
Déterminer le signe de $f$ sur l'intervalle $[-2 ; 3]$. 

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-2 ; 3]$. 
		\item On considère la surface $\mathcal{S}$ délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $x = \ln 3$.
		 
Hachurer $\mathcal{S}$ sur la figure en annexe. 
		\item Déterminer, en justifiant avec soin, l'aire de $\mathcal{S}$, en unités d'aire. On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
 
\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

Dans une résidence de vacances d'été, les touristes vont tous les jours à la plage. Ils disposent pour se déplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicyclettes. Le séjour dure un mois pour tous les vacanciers.
 
Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80\:\% des touristes choisissent le minibus. 

On considère qu'ensuite, chaque jour, 30\:\% de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15\:\% des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus.
 
Soit $n$ est un entier entre 1 et 31. On appelle $P_n= {\begin{pmatrix} a_n  & b_n  \\ \end{pmatrix} }$ la matrice traduisant l'état 
probabiliste relatif au $n$-ième jour, où :
 
$a_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le jour $n$ ;

$b_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant la bicyclette le jour $n$.
 
\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
 
\item Écrire la matrice de transition, notée $M$, associée à cette situation. 
\item  Déterminer l'état initial $P_{1}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_{2}$ (faire apparaître les calculs). Interpréter le résultat obtenu. 
		\item On suppose que $M^5 = \begin{pmatrix}0,367 & 0,633\\
0,317& 0,683 \end{pmatrix}$				et $M^6 = \begin{pmatrix}0,352& 0,648\\
0,324& 0,676 \end{pmatrix}$, les coefficients ayant été arrondis au millième.
 
En utilisant la matrice qui convient, déterminer la répartition prévisible le 6\up{e} jour. On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1\:\% près.
	\end{enumerate} 
\item Soit $P= {\begin{pmatrix} x  & y  \\ \end{pmatrix} }$ la matrice correspondant à l'état stable.
 
Déterminer $x$ et $y$ ; en donner une interprétation. 
\item  Montrer que pour $n$ entier compris entre 1 et 30 on a $a_{n+1} = 0,55 a_{n} + 0,15$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip
 
Pour $n$ entier, $n \geqslant  1$, on définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par :
\[ u_{n+1} = 0,55 u_{n} + 0,15\quad \text{et}\quad   u_{1} = 0,8.\]
 
\begin{enumerate}
\item  On pose $U_{n} = u_{n} - \dfrac{1}{3}$.
 
Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique. On précisera la raison et le premier terme de cette suite. 
\item Exprimer $U_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Quel résultat retrouve-t-on ? 
\end{enumerate}

       
\end{document}