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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 Le tableau ci-dessous donne le prix du kilogramme de pain dans un quartier d'une grande ville depuis 2001 (les prix sont relevés au premier janvier). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &  2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005\\ \hline
Rang $x_{i}$ & 1 & 2  & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline
Prix $y_{i}$ du kilogramme de pain en euro & 1,90 & 1,94 & 2,01 & 2,07 & 2,13 & 2,16\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'évolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier entre les années 2000 et 2005. On donnera une valeur arrondie au centième. 
\item  Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère du plan. 
	\begin{enumerate}
		\item  Pourquoi un ajustement affine du nuage de points est-il justifié ? 
	\item Déterminer une équation de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-3}$ près. 
	\item Représenter la droite $(D)$ dans le repère précédent, 
	\item En admettant que le modèle précédent est valable pour les années suivantes, calculer le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centième).
	\end{enumerate} 
\item On considère maintenant un autre modèle pour étudier l'évolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier. Les relevés de prix entre 2005 et 2008 ont permis de constater que le prix du kilogramme de pain a augmenté de 1,5\:\% par an.
 
En admettant que le prix du kilogramme de pain continue d'augmenter chaque année de 1,5\:\% calculer le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centième. 

\item Pour chacun des modèles précédents, déterminer à partir de quelle année le prix du kilogramme de pain dans ce quartier dépassera 2,60~euros. 
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 Une association propose à ses adhérents une sortie payante, Les adhérents peuvent choisir d'emporter leur pique-nique ou de payer à l'association un supplément pour le repas. Le tableau ci-dessous donne les différents tarifs suivant l'âge des adhérents.

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline

catégorie & 	\small{A :  adultes (plus de 18 ans)} & \small {B  : jeunes de 10 à 18 ans} & \small{C : enfants de moins de 10 ans} \\ \hline \hline 
prix de la sortie & 	20 \euro & 	15 \euro & 8 \euro \\ \hline
prix du repas &	6 \euro & 	5 \euro & 3 \euro\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
L'association a inscrit 87 participants pour cette sortie, dont 58 adultes et 12 enfants de moins de 10 ans. La moitié des adultes, un quart des enfants de moins de 10 ans et 10 jeunes de 10 à 18 ans ont emmené leur pique-nique.

\medskip

On choisit un participant au hasard, et on note :
 
 \begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og le participant fait partie de la catégorie A \fg{} ; 
\item $B$ l'évènement \og le participant fait partie de la catégorie B \fg{} ; 
\item $C$ l'évènement \og le participant fait partie de la catégorie C \fg{} ; 
\item $R$ l'évènement \og le participant choisit le repas proposé par l'association \fg.
\end{itemize}
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété au cours de la résolution  de l'exercice. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $B$.
	\item  Calculer la probabilité de l'évènement $R \cap A$.
	\item Montrer que la probabilité de l'évènement $R$ est égale à $\dfrac{15}{29}$.
	\item Sachant que le participant choisi a pris le repas proposé par l'association, quelle est la probabilité que ce participant soit un adulte ?
 	\end{enumerate}  
\item On note $X$ le prix payé à l'association par un participant, 

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les différentes valeurs que peut prendre le prix $X$.
	\item Établir la loi de probabilité du prix $X$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 Un enfant joue aux fléchettes. Un adulte observe son jeu et remarque que si l'enfant atteint la cible lors d'un lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à $\dfrac{3}{4}$.
 
Si l'enfant n'atteint pas la cible lors d'un lancer, alors il atteint la cible au lancer suivant avec une  probabilité égale à $\dfrac{1}{8}$.

\medskip
 
Lors du premier lancer, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à  $\dfrac{1}{10}$.

\begin{enumerate}
\item On note $C$ l'état : \og  l'enfant atteint la cible \fg{} et on note $R$ l'état : \og  l'enfant n'atteint pas la cible \fg. 

	\begin{enumerate}
		\item  Représenter la situation par un graphe probabiliste. 
	\item  \'Ecrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $n$ un nombre entier naturel non nul.
 
Soient $C_{n}$ l'évènement : \og  l'enfant atteint la cible au $n$-ième lancer \fg{} et $R_{n}$ l'évènement : \og  l'enfant n'atteint pas la cible au $n$-ième lancer \fg. L'état probabiliste lors du $n$-ième lancer est donné par la matrice ligne $E_n = {\begin{pmatrix} c_n & r_n  \\\end{pmatrix} }$  où $c_{n}$ désigne la probabilité de l'évènement $C_{n}$ et $r_{n}$  la probabilité de l'évènement $R_{n}$. 

	\begin{enumerate}
		\item  Écrire la matrice ligne $E_{1}$ de l'état probabiliste initial. 
	\item Déterminer la matrice ligne $E_{3}$ et donner une interprétation du résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\item  Soit $E = {\begin{pmatrix} c  & r  \\\end{pmatrix} }$ la matrice ligne de l'état probabiliste stable.
 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $c$ et $r$. 
	\item L'adulte affirme qu'après un très grand nombre de lancers, l'enfant a deux fois plus de chance de manquer la cible que de l'atteindre. Cette affirmation est-elle justifiée ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des quatre propositions a, b, c ou d est exacte.
 
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une ville en pleine expansion a vu sa population augmenter de 20\:\% pendant quatre années consécutives, puis de 7\:\% durant chacune des cinq années suivantes, et enfin de 6\:\% la dixième et dernière année. Le taux d'augmentation annuel moyen (arrondi au dixième) durant la décennie qui vient de s'écouler s'élève à : 

	\begin{enumerate}
		\item  33,0\:\%
	\item	 12,1\:\%
	\item	11,9\:\%
	\item	 11,0\:\% 
 	\end{enumerate}
\item La population de la ville voisine a diminué de 5\:\% en 2008. Quel pourcen.tage d'augment ation (arrondi au dixième) devrait-elle connaître en 2009 pour que le nombre d'habitants le 1\up{er} janvier 2010 soit égal au nombre d'habitants à la date du 1\up{er} janvier 2008 ? 
	\begin{enumerate}
	\item 10,0\:\% 
	\item 5,3\:\% 
	\item 5,0\:\% 
	\item 4,7\:\%
    \end{enumerate} 
\item Le double du logarithme d'un nombre est égal au logarithme de la moitié de ce nombre. Quel est ce nombre ? 
	\begin{enumerate}
	\item $-1$
	\item	0 
	\item	0,5 
	\item 2 
    \end{enumerate} 	
\item Une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$, est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ;  5]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[5 ;  +\infty[$. Sa courbe représentative $C$ dans un repère du plan admet une tangente $\mathcal{T}$ au point d'abscisse 6.

Laquelle des équations suivantes est celle de la tangente $\mathcal{T}$ ? 

	\begin{enumerate}
	\item $y = - 3x + 3$ 
	\item $y = x$ 
	\item 	$y = 6x - 36$
	\item $x = 6$
    \end{enumerate} 	 
\end{enumerate} 

\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0 ;  \infty[$ par : 

\[f(x) = (7 - x)\e^{x - 4} \quad \text{et} \quad  g(x) = 2\ln\left(\dfrac{x + 5}{x + 1} \right).\] 

\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{partie a}}} : Étude des fonctions $f$  et $g$ 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[0 ;  +\infty\right[$ on a $f'(x) = (6 - x)\e^{x - 4}$.
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0 ;  +\infty\right[$ et établir son tableau de variations. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\left]- \infty ; -1 \right[ \cup \left ]- 1  ;  +\infty \right[$ par : 
\[h(x) = \dfrac{x+5}{x + 1}\] 
Le tableau de variations de la fonction $h$ est donné ci~dessous : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(14.5,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(14.5,3.6) \psline(1.5,0)(1.5,3.6) \psline(0,2.8)(14.5,2.8)\psline(0,2)(7.9,2) \psline(8.1,2)(14.5,2)
\psline(7.9,0)(7.9,2.8) \psline(8.1,0)(8.1,2.8)
\rput(0.75,3.2){$x$}\rput(2,3.2){$- \infty$} \rput(8,3.2){$-1$} \rput(14,3.2){$+ \infty$}
\rput(0.75,2.4){$h'(x)$} \rput(4.75,2.4){$-$} \rput(11.25,2.4){$-$}
\rput(0.75,.8){$h(x)$} \rput(2,1.6){\rnode{A}{1}} \rput(7.5,.4){\rnode{B}{$- \infty$}} \rput(8.5,1.6){\rnode{C}{$+ \infty$}} \rput(14,.4){\rnode{D}{1}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer, en le justifiant, le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[0 ;  +\infty\right[$.
	\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$. Quelle en est la conséquence graphique ? 
	\end{enumerate}
\item  Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont données dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$ ci-dessous 

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(12.2,8.2)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rougef}{.8 0.1 .1}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(7-x)*Euler^(x-4)}
\def\g{2*ln((x+5)/(x+1))}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(0,-1)(12,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.1 0.1,yticksize=-0.1 0.1]{-}(0,0)(0,-1)(12,8)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=rougef]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=rougef]{->}(0,0)(0,1)
\uput[l](0,.5){\rougef $\vec j$}\uput[d](.5,0){\rougef $\vec i$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{7.05}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{12}{\g}
\uput[l](4.5,4){\bleu $\mathcal{C}_{1}$} \uput[u](1.5,1.9){\prune $\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Laquelle de ces deux fonctions est représentée par la courbe $\mathcal{C}_{1}$ ? 
		\item Déterminer graphiquement une valeur approchée arrondie à l'unité des solutions de l'équation $f(x)~=~g(x)$ sur l'intervalle $\left[0 ;  +\infty\right[$. 
	\item \emph{Dans cette question, toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée}. 
	
Le professeur a demandé à Perrine et Elliot de calculer $\displaystyle\int_{0}^3  f(x)\;\mathrm{d}x$.
 
Voici des extraits de leurs productions : 

\emph{Production de Perrine :}

Une primitive de $f$ est $F$ telle que $F(x) = (8 - x)\e^{x - 4}$, donc $\displaystyle\int_{0}^3  f(x)\:\text{d}x = 5\e^{-1} -8\e^{-4} \approx  1,69$. 

\emph{Production d'Elliot :}

Une primitive de $f$ est $F$ telle que $F(x) = \left(7x- \dfrac{1}{2}x^2\right)\e^{x - 4}$, donc $\displaystyle\int_{0}^3  f(x)\:\text{d}x = 16,5\e^{-1} \approx  6,07$. 

\medskip

Lors de la correction, le professeur indique que l'un des deux s'est trompé. Est-ce Perrine ou Elliot ? Justifier le choix. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{partie b}}} : Application économique

\medskip
 
Sur l'intervalle $\left[ 0 ; 5 \right]$, la fonction $f$ modélise la fonction d'offre des producteurs d'un certain produit et la fonction $g$ modélise la fonction de demande des consommateurs pour ce même produit. La quantité $x$ est exprimée en millier de tonnes et le prix $f(x)$ ou $g(x)$ est en euro par kg.
 
On rappelle que le prix d'équilibre est le prix qui se forme sur le marché lorsque l'offre est égale à la demande. La quantité d'équilibre est la quantité associée au prix d'équilibre.
 
Par lecture graphique, donner une valeur approchée de la quantité d'équilibre $x_0$, ainsi qu'une valeur approchée du prix d'équilibre $y_0$.

        
\end{document}