Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d'un même groupe politique dans l'opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables à ce groupe.
Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on considère que :
On note, pour tout entier naturel n :
On note M la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel n :
Déterminer la matrice donnant l'état probabiliste initial.
Déterminer le graphe probabiliste correspondant à la situation.
On admet que . Déterminer la matrice en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centième).
Déterminer l'état stable et interpréter ce résultat.
théorème :
Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
— l'état à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial ;
— de plus, P est l'unique solution de l'équation où avec .
Montrer que pour tout entier naturel n.
est la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de n mois alors pour tout entier n, , et pour tout entier naturel n, . Donc
On considère la suite telle que pour tout entier naturel n.
Démontrer que la suite est géométrique de raison 0,75.
En déduire que pour tout entier naturel n.
Calculer la limite de quand n tend vers . Comment peut-on interpréter cette limite ? En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui demandé à la question 4. de la première partie.
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