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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2009 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet France Métropolitaine}}\\(Deuxième session)}}} %centre
%pied de page
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\lfoot{France Métropolitaine 2009\\(Deuxième session)}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[- 2 ; 4\right]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, tracée ci-dessous, représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.

On note e le nombre réel tel que $\ln \e = 1$. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ passe par les points $B(0 ; 2)$ et $A(-1 ; \e)$.

Elle admet au point $A$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

La tangente $(T)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ passe par le point $D(2 : 0)$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.25,-0.5)(4.25,3.25)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuc}{.25 .4 .75}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)*Euler^(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-2.25,-0.5)(4.25,3.25)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-2.25,-0.5)(4.25,3.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleuc](-1.5,2.71828)(-0.5,2.71828)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.125,3.125)(2.375,-.375)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,2.71828)(0,2)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8,dotstyle=Bo](2,0) 
\uput[ul](-1,2.71828){\bleu $A$} \uput[ur](0,2){\bleu $B$} \uput[ur](2,0){\prune $D$} \uput[u](3,0.25){\bleu $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données graphiques, donner sans justifier :

	\begin{enumerate}
		\item le nombre de solutions sur l'intervalle $\left[- 2 ; 4\right]$ de l'équation $f(x) = 1$ et un encadrement d'amplitude 0,25 des solutions éventuelles.
		\item la valeur de $f'(-1)$.
		\item le signe de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[- 2 ; 4\right]$.
	\end{enumerate}
	
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Donner en justifiant :

	\begin{enumerate}
		\item le coefficient directeur de la tangente $(T)$.
		\item l'encadrement par deux entiers naturels consécutifs de l'intégrale $\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x$.
		\item celle des trois courbes $\left(\mathcal{C}_{1}\right),~\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{3}\right)$ données ci-dessous qui représente la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}} c c c}
\psset{unit=.8cm} 
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(4.5,4.5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{prunef}{.5 0.1 .4}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{-1.5*(x+1)*Euler^(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-2.5,-2.5)(4.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.1 0.1,yticksize=-0.1 0.1]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(4.5,4.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prunef]{-2}{4}{\f}
\uput[u](-2,2){\prunef \small{$\left(\mathcal{C}_1\right)$}} 
\end{pspicture*}
& 
\psset{unit=.8cm} 
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(4.5,4.5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{prunef}{.5 0.1 .4}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+1)*(2*x-3)*(7*x+80)/(120*x+240)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-2.5,-2.5)(4.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.1 0.1,yticksize=-0.1 0.1]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(4.5,4.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prunef]{-1.9}{4}{\f}
\uput[u](-2,2){\prunef \small{$\left(\mathcal{C}_2\right)$}} 
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=.8cm} 
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(4.5,4.5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{prunef}{.5 0.1 .4}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{ -(x+1)*Euler^(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-2.5,-2.5)(4.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.1 0.1,yticksize=-0.1 0.1]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(4.5,4.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prunef]{-2}{4}{\f}
\uput[u](-2,2){\prunef \small{$\left(\mathcal{C}_3\right)$}} 
\end{pspicture*}\\
\end{tabular*} 


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 Dans un lycée général et technologique, il y a 1400 lycéens : des élèves de seconde, première ou terminale, et des étudiants en section de technicien supérieur (STS).

Pour pouvoir disposer des collections de manuels scolaires, tous les lycéens doivent adhérer à la coopérative scolaire et payer une location  annuelle d'un montant de 50~\euro{} pour les élèves et 60~\euro{} pour les étudiants.

Sur l'ensemble des adhérents à la coopérative scolaire, 62,5\:\% sont les élèves de seconde, première ou terminale. Les autres sont les étudiants de STS.

Depuis quelques années, les élèves de seconde, première ou terminale disposent de chèques-lire avec lesquels ils peuvent régler cette location :

\begin{itemize}
\item  40\:\% paient leur location à l'aide de chèques-lire,
\item 56\:\% paient par chèque bancaire,
\item les autres paient par mandat ou en liquide.
\end{itemize}

Les étudiants de STS ne disposent pas de chèques-lire :

\begin{itemize}
\item 96 \% paient par chèque bancaire,
\item les autres paient par mandat ou en liquide.
\end{itemize}

\medskip

Les parties I et II sont indépendantes

\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{partie i}}} 

\medskip

Les 1400 lycéens, élèves comme étudiants, adhèrent à cette coopérative.

\begin{enumerate}
\item Calculer le montant des versements effectués par chèque bancaire.
\item Calculer le pourcentage du montant total des locations que cette somme représente.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{partie ii}}}

\medskip

On prend au hasard la fiche d'un adhérent à la coopérative scolaire parmi les 1400 fiches.

On note :

\begin{itemize}
\item[] L l'évènement \og l'adhérent est un élève \fg ;
\item[] E l'évènement \og l'adhérent est un étudiant en STS \fg ;
\item[] C l'évènement \og l'adhérent paie avec ses chèques-lire \fg ;
\item[] B l'évènement \og l'adhérent paie avec un chèque bancaire \fg ;
\item[] A l'évènement \og l'adhérent paie par un autre moyen de paiement \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire à l'aide d'un arbre pondéré la situation décrite ci-dessus.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'adhérent soit un élève ayant payé sa location à l'aide de chèques-lire.
		\item Calculer la probabilité que l'adhérent soit un étudiant en STS ayant payé sa location à l'aide d'un chèque bancaire.
		\item Démontrer que la probabilité que l'adhérent ait payé par chèque bancaire est de 0,71.
	\end{enumerate}
\item Un adhérent a payé par chèque bancaire. Calculer le probabilité que ce soit un élève.
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

Sur le dessin joint en annexe, on a placé les points $A(0 ; 2 ; 0)$, $B(0 ; 0 ; 6)$, $C(4 ; 0 ; 0)$, $D(0 ; 4 ; 0)$ et $E(0 ; 0 ; 4)$.

Soit $(P)$ le plan d'équation $3y + z = 6$.

Il est représenté par ses traces sur le plan de base sur le dessin joint en annexe.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points $C$, $D$ et $E$ déterminent un plan que l'on notera $(CDE)$.
		\item Vérifier que le plan $(CDE)$ a pour équation $x + y + z = 4$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les plans $(P)$ et $(CDE)$ sont sécants. On note $(\Delta)$ leur intersection.
		\item Sans justifier, représenter $(\Delta)$ en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure en annexe.
	\end{enumerate}
\item On considère les points $F(2 ; 0 ; 0)$ et $G(0 ; 3 ; 0)$.

On note $(Q)$ le plan parallèle à l'axe $\left(\text{O};~\vec{k}\right)$ et contenant les points $F$ et $G$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur la figure en annexe les points $F$ et $G$.
		
		Sans justifier, représenter le plan $(Q)$ par ses traces sur les plans de base, d'une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés), sur la figure en annexe.
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $ax + by = 6$ soit une équation du plan $(Q)$.
	\end{enumerate}
\item L'intersection des plans $(CDE)$ et $(Q)$ est la droite $\left(\Delta'\right)$.

Sans justifier, représenter la droite $\left(\Delta'\right)$, d'une troisième couleur (ou à défaut en très larges pointillés), sur la figure en annexe.
\item On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant :

\[\left\{\begin{array}{r c l}
3y + z&=&6\\
x + y + z&=&4\\
\multicolumn{1}{l}{3x + 2y}&=&6
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre ce système.
		\item Que peut-on alors en déduire pour les droites $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}

\textbf{\textsc{\textsf{annexe 1}}}

(À remettre avec la copie)


\bigskip

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2.75)(4.5,6.5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rougef}{.8 0.1 .1}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=4,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-4,-2.75)(4.5,6.5)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(4.5,6.5)
\psline[linewidth=.75pt]{->}(0,0)(-4,-2.6667)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=rougef]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=rougef]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=rougef]{->}(0,0)(-.75,-.5)
\uput[d](-.35,-.25){\rougef $\vec i$} \uput[d](.5,0){\rougef $\vec j$} \uput[l](0,.5){\rougef $\vec k$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](-4.5,3)(0,6)(2,0)(-2.125,-2.75)
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](-3,-2)(4,0)(0,4)
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt,linecolor=rougef](0,6)(2,0)(-3,-2)(4,0)(0,4)
\uput[r](-4,-2.7){$x$} \uput[d](4.4,0){$y$} \uput[ul](0,6.25){$z$}
\uput[dr](2,0){\bleu $A$} \uput[ur](0,6){\bleu $B$} \uput[d](-3,-2){\prune $C$} \uput[d](4,0){\prune $D$} \uput[l](0,4){\prune $E$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 Pour établir le prix unitaire le plus adapté d'un produit, une société effectue une étude statistique.

Le tableau suivant indique le nombre d'acheteurs, exprimé en milliers, correspondant à un prix unitaire donné, exprimé en euros :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix en euros : $x_{i}$ & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\ \hline
Nombre d'acheteurs en milliers : $y_{i}$ & 125 & 120 & 100 & 80 & 70 & 50 & 40 & 25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$ dans le plan $(P)$ muni d'un repère orthonormal d'unités 1~cm pour un euro sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~milliers d'acheteurs sur l'axe des ordonnées.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation $y = ax + b$ de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à l'unité.
		\item Tracer la droite $(D)$ dans le plan $(P)$.
		\item En utilisant l'ajustement affine précédent, estimer graphiquement, à l'euro près, le prix unitaire maximum que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'ajustement affine précédent, justifier que la recette $R(x)$, exprimée en milliers d'euros, en fonction du prix unitaire $x$ d'un objet, exprimé en euros, vérifie :		
		\[R(x) = - 15x^2 + 189x.\]
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par 
		\[f(x) = - 15x^2 + 189x.\]
		\item Quel conseil peut-on donner à la société ? Argumenter la réponse.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = \left(x^2 - x + 1 \right) \e^{-x}$.

On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $(P)$ muni d'un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		\item En remarquant que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) = \dfrac{x^2}{\e^{x}} - \dfrac{x}{\e^{x}} + \dfrac{1}{\e^{x}}$, déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		
Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = \left(- x^2 + 3x - 2\right)\e^{-x}$.
		\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'ensemble des nombres réels.
 	\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point d'abscisse $0$.
\item On prend comme unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 20~cm sur l'axe des ordonnées.

Tracer la droite $(T)$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sur l'intervalle $\left[0 ; 8\right]$  dans le plan $(P)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le nombre de solutions sur l'intervalle $\left[0 ; 8\right]$ de l'équation $f(x) = 0,4$.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de la plus grande des solutions de l'équation considérée à la question 5. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

        
\end{document}