sujet : Nouvelle Calédonie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie i : étude d'une fonction

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ telle que pour tout réel x de cet intervalle : $f\left(x\right)=5\left(1-\ln x\right)\left(\ln x-2\right)$ et dont la représentation graphique est donnée en annexe 2.

1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

2. 1. Déterminer le signe de l'expression $5\left(1-X\right)\left(X-2\right)$ suivant les valeurs du réel X.

   2. En déduire que le signe de $f\left(x\right)$ est donné pour tout réel de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par le tableau suivant :

      x	0		e		${\mathrm{e}}^2$		$+\infty$
      Signe de $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, poser $X=\ln x$.

3. 1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5\left(3-2\ln x\right)}{x}}$ pour tout x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   2. En déduire les variations de f. On précisera la valeur exacte du maximum de f et la valeur exacte de x pour laquelle il est atteint

4. Calculer les limites de la fonction f en 0 et en $+\infty$

5. Donner le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=1$ puis donner une valeur approchée arrondie à 0,01 près de ces solutions.

   Théorème de la valeur intermédiaire …

partie ii : application

Une entreprise fabrique et revend des jouets.
$f\left(x\right)$ représente le résultat (bénéfice ou perte) en milliers d'euros qu'elle réalise lorsqu'elle fabrique x centaines de jouets, pour x compris entre 1 et 10, f désignant la fonction étudiée dans la partie I.

1. Déterminer, à un jouet près, les quantités à produire pour ne pas travailler à perte.
   Interpréter concrètement le résultat de la question I. 2. Comment le lit-on sur le graphique ?

2. Cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 1 000 euros. Combien de jouets doit-elle fabriquer ? Justifier la réponse.

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