sujet : Polynésie

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. 1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ $\left(1⩽i⩽5\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour une centaine de milliers d'entrées sur l'axe des abscisses et 1 cm pour la centaines de milliers d'entrées sur l'axe des ordonnées).

   2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer G dans le repère précédent.

      Les coordonnées du point moyen G de cette série statistique sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_G={\displaystyle \frac{10+9+\mathrm{7,5}3+\mathrm{6,5}+5}{5}}=\mathrm{7,6}& \text{et}& y_G={\displaystyle \frac{75+62+\mathrm{41,5}+32+\mathrm{29,5}}{5}}=48\end{array}$$

      Les coordonnées du point moyen G de cette série statistique sont $\mathrm{G}\left(\mathrm{7,6};48\right)$.

      ---

   3. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de Δ, droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients sont  arrondis au dixième). Tracer cette droite dans le repère précédent.

      Une équation de la droite Δ d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{9,6}x-25$ (coefficients arrondis au dixième)

      ---

   4. En utilisant cette approximation affine, calculer le nombre d'entrées cumulées sur la France qu'on aurait pu prévoir pour le film « Les bronzés 3 » sachant qu'il en a réalisé 1 140 000 en région parisienne (on arrondira le résultat à la dizaine de milliers d'entrées).

      Une estimation nombre d'entrées cumulées sur la France est : $$\mathrm{9,6}\times \mathrm{11,4}-25=\mathrm{84,44}$$

      Avec cet ajustement, le nombre de centaines de milliers d'entrées cumulées sur la France qu'on aurait pu prévoir pour le film « Les bronzés 3 » est 84,4.

      ---

2. La forme du nuage de points ci-dessus suggère de faire un ajustement par une courbe de type exponentiel d'équation $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$ (où A et B sont des réels). Pour cela on pose d'abord $z=\ln \left(y\right)$.

   1. Recopier et compléter le tableau suivant avec des valeurs de $z_i$ arrondies à 10⁻²$\left(1⩽i⩽5\right)$.

      $x_i$	10	9	7,5	6,5	5
      $y_i$	75	62	41,5	32	29,5
      $z_i=\ln \left(y_i\right)$	4,32	4,13	3,73	3,47	3,38

   2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $z=\mathrm{0,202}x+\mathrm{2,271}$ (coefficients arrondis au millième)

      ---

   3. En utilisant la relation $z=\ln \left(y\right)$ déterminer alors les valeurs arrondies à 10⁻³ des réels A et B tels que $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$

      Pour tout réel $y>0$ , $z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $$\begin{array}{lll}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,202}x+\mathrm{2,271}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{2,271}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,202}x}\end{array}$$

      Posons $A={\mathrm{e}}^{\mathrm{2,271}}\approx \mathrm{9,689}$ et $B=\mathrm{0,202}$ :

      La courbe qui représente un ajustement exponentiel de y en fonction de x a pour équation $y=\mathrm{9,689}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,202}x}$

      ---

   4. En utilisant l'approximation $y\approx \mathrm{9,689}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,202}x}$, quel nombre d'entrées, cumulées sur la France aurait-on pu prévoir pour le film « Les bronzés 3 » sachant qu'il en a réalisé 1 140 000  en région parisienne ? On arrondira le résultat au millier d'entrées.

      Avec cet ajustement, une estimation nombre d'entrées cumulées sur la France est : $$y=\mathrm{9,689}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,202}\times \mathrm{11,4}}\approx \mathrm{96,91}$$

      Avec l'ajustement exponentiel, le nombre d'entrées cumulées sur la France qu'on aurait pu prévoir pour le film « Les bronzés 3 » est 9 691 000.

      ---

3. Le nombre d'entrées en fin d'exploitation pour ce film sur la France a été de 10 300 000. Lequel des deux ajustements semble le plus approprié ?

   L'ajustement exponentiel donne un résultat plus proche du nombre d'entrées en fin d'exploitation pour ce film sur la France.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.