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% en-tête
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\lfoot{Amérique du Nord 2010}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2 ; 11]$, et on donne sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthogonal \Oij, figure ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(24,20)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(24,20)
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1)(12,5)
\psaxes[linewidth=1pt, linecolor=red,labels=none,  ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[d](11.8,0){$x$} \uput[l](0,4.95){$y$}
\psbezier[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-}(-2,0.5)(-1.5,0.5)(-.75,0.5)(0,2)
\psbezier[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-}(0,2)(1,4)(1.5,4.5)(2,4.5)
\psbezier[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-}(2,4.5)(2.75,4.5)(3.5,3)(4.5,2)
\psbezier[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-}(4.5,2)(5.5,1)(7.9,-.75)(11,-.75)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{->}(-2,.5)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1,0)(1,4) 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(1,4.5)(3,4.5) 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(3,3.5)(6,0.5) 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<-}(10,-.75)(11,-.75)  
\psdots[dotstyle=*, linecolor=prune,dotscale=.8](-2,0.5)(0,2)(2,4.5)(4.5,2)(7.5,0)(11,-.75)
\uput[ul](-2,0.5){\bleu{$A$}} \uput[ur](0,2){\bleu{$B$}}\uput[u](2,4.5){\bleu{$C$}}\uput[ur](4.5,2){\bleu{$D$}}\uput[ur](7.5,0){\bleu{$E$}}\uput[ur](11,-.75){\bleu{$F$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On sait que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points $A(-2 ; 0,5)$, $B(0 ; 2)$, $C(2 ; 4,5)$, $D(4,5 ; 2)$,  $E(7,5 ; 0)$ et $F(11 ; -0,75)$.

Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ aux points $A$, $B$, $C$, $D$ et $F$ sont représentées sur la figure. On utilisera les informations de l'énoncé et celles lues sur la figure pour répondre aux questions.

\medskip

\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses \textbf{A,~B} ou \textbf{C} est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à $O$.}


\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(0)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{A :} $\dfrac{1}{2}$&\textbf{B :} $2$&\textbf{C :} 4\\
\end{tabularx}

\medskip

\item $f'(x)$ est strictement positif sur l'intervalle :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{A :} $]0 ; 11[$&\textbf{B :} ]0 ; 7,5[&\textbf{C :} $]-2 ; 2[$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{A :} $y = - x + 6,5$ & \textbf{B :} $y = x - 6,5$ & \textbf{C :} $y = -2x + 11$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 2 ; 11]$ :

\textbf{A :} admet un maximum en $x = 2$.

\textbf{B :} est strictement croissante sur l'intervalle $[- 2 ; 7,5]$.

\textbf{C :} est strictement décroissante sur l'intervalle $]2 ; 11[$.

\item Sur l'intervalle $[- 2 ; 11]$, l'équation $\mathrm{exp}[f(x)] = 1$ : 

\textbf{A :} admet une solution.

\textbf{B :} admet deux solutions.

\textbf{C :} n'admet aucune solution.
\end{enumerate}



\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 
Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d'appareil photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil. 

Il a constaté, lors d'une précédente promotion, que :

\begin{itemize}
\item 20\:\% des clients achètent l'appareil photo en promotion. 
\item 70\:\% des clients qui achètent l'appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion. 
\item  60\:\% des clients n'achètent ni l'appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.
\end{itemize}
 
On suppose qu'un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte  mémoire en promotion.
 
Un client entre dans le magasin.
 
On note A l'évènement : \og le client achète l'appareil photo en promotion \fg. 

On note C l'évènement : \og le client achète la carte mémoire en promotion \fg.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les probabilités $p\left(\overline{\text{A}}\right)$ et $p\left(\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{C}} \right)$. 
		\item  Un client n'achète pas l'appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu'il n'achète pas non plus la carte mémoire en promotion.
	\end{enumerate} 
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation. 
\item Montrer que la probabilité qu'un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34. 
\item Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité que ce client achète aussi l'appareil photo en promotion. 
\item Le commerçant fait un bénéfice de 30~\euro{} sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4~\euro{} sur chaque carte mémoire en promotion. 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. Aucune justification n'est demandée.
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Bénéfice par client en euros		& 0	&	&	&\\ \hline
Probabilité d'atteindre le bénéfice	&0,6&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	 
		\item Pour 1000 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa promotion ?
	\end{enumerate} 
\item Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements d'achat sont indépendants.
 
Déterminer la probabilité qu'au moins un de ces trois clients n'achète pas l'appareil photo en  promotion. 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a - }}\'Etude préliminaire}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $g(x) = 1- 2\ln (x)$.

On donne ci-dessous sa courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ dans un repère orthonormé \Oij. Cette courbe $\mathcal{C}_{g}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $\alpha$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-8)(20,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-8)(20,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-4)(10,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.134}{10}{1-2*ln(x)}
\uput[ur](1.5,0){\prune $\alpha$}
\uput[r](8,-3){\bleu $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item  Déterminer la valeur exacte de $\alpha$. 
\item On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.

Donner, en justifiant, le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b - }} \'Etude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln (x) + 1}{x}$.
  
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$). 

On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$. 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. 
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$. 

On pourra remarquer que $f(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln (x) +  \dfrac{1}{x}$. 
		\item Soit  $I= \dfrac{1}{4} \displaystyle\int_{1}^5  f(x)\:\text{d}x$. Déterminer la valeur exacte de $I$, puis en donner une valeur approchée  au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c - }} Application économique}

\medskip
 
Dans cette partie, on pourra utiliser certains résultats de la partie B.

\medskip
 
Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l'industrie automobile. Sa production pour ce type de pièces varie entre 1000 et 5000~pièces par semaine, selon la demande.
 
On suppose que toutes les pièces produites sont vendues.
 
Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie B, avec $x$ exprimé en milliers de pièces et $f(x)$ exprimé en euros.
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer, au centime près, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre 1000 et 5000~pièces. 
\item \emph{Dans cette question, la réponse sera soigneusement justifiée. Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l'unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à 1,05~\euro{}? 
\end{enumerate}


 \pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Craignant une propagation de grippe infectieuse, un service de santé d'une ville de  50000 habitants a relevé le nombre de consultations hebdomadaires concernant cette grippe dans cette ville pendant 7 semaines. Ces semaines ont été numérotées de 1 à 7.
 
On a noté $x_{i}$ les rangs successifs des semaines et $y_{i}$ le nombre de consultations correspondant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Rang de la semaine : $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Nombre de consultations : $y_{i}$& 540 &720 &980 & 1320 & 1800 & 2420 & 3300\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Tracer le nuage de points sur une feuille de papier millimétré, on prendra 2~cm pour une unité en $x$ et 1~cm pour 200 en $y$. 

Un modèle d'ajustement affine a été rejeté par le service de santé. Pourquoi ? 
\item Pour effectuer un ajustement exponentiel, on décide de considérer les $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.
 
Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie en arrondissant les $z_{i}$ à 0,01 près. Il n'est pas demandé de tracer le nuage de points correspondant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Rang de la semaine : $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
 $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} && && & & &\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Trouver à la calculatrice l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés reliant $z$ et $x$ (les coefficients obtenus par la calculatrice seront donnés à 0,1 près) puis déduire $y$ en fonction de $x$ (on donnera le résultat sous la forme $y = \e^{ax + b}$, $a$ et $b$ étant deux réels). 
\item En utilisant ce modèle, trouver par le calcul : 
	\begin{enumerate}
		\item Une estimation du nombre de consultations à la 10\up{ème} semaine (arrondir à l'unité). 
		\item La semaine à partir de laquelle le nombre de consultations dépassera le quart de la population.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
En observant les valeurs données par le modèle exponentiel grâce à un tableau obtenu à l'aide d'une calculatrice, expliquer si ce modèle reste valable sur le long terme. 
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{3}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Pendant ses vacances d'été, Alex a la possibilité d'aller se baigner tous les jours. S'il va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,7.
 
S'il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,9. 

Le premier jour de ses vacances, Alex va se baigner.

\medskip

$n$ étant un entier naturel non nul, on note :

\begin{itemize}
\item $a_{n}$ la probabilité qu'Alex n'aille pas se baigner le $n$-ième jour. 
\item $b_{n}$ la probabilité qu'Alex aille se baigner le $n$-ième jour. 
\item  $P_{n} = {\begin{pmatrix} a_n  & b_n  \\ \end{pmatrix} }$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-ième jour.

On a donc $P_{1} = {\begin{pmatrix} 0  & 1  \\ \end{pmatrix} }$
\end{itemize}

 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (B représentant l'état \og Alex va se baigner \fg). 
		\item Soit $M$ la matrice de transition associée à ce graphe. Recopier et compléter $M = \begin{pmatrix}
0,1& \ldots\\
\ldots & 0,7\\
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate} 
\item Calculer $P_{3}$,  $P_{10}$ et $P_{20}$. Quelle conjecture peut-on faire ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $b_{n+1} = 0,9a_{n} + 0,7 b_{n}$.
		\item En déduire que : $b_{n+1} = - 0,2b_{n} + 0,9$.
 	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $u$ définie pour tout entier $n$ non nul par $u_{n} = b_{n} - 0,75$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u$ est une suite géométrique de raison $- 0,2$ ;  on précisera son premier terme. 
		\item Déterminer la limite de la suite $u$. 
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} b_{n}$. 
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que le premier jour de ses vacances, Alex ne va pas se baigner. 

Quelle est la probabilité qu'il aille se baigner le 20\up{e} jour de ses vacances ? 
\end{enumerate}

       
\end{document}