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  \stepcounter{nexo} 
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2010 \\ Série ES}}} %droit
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\lfoot{Amérique du Sud 2010}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On se propose d'étudier l'évolution des productions d'électricité d'origines hydraulique et éolienne depuis 1999.
 
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }}Production d'électricité d'origine hydraulique}

\medskip

 
Le tableau suivant donne la production d'électricité d'origine hydraulique en France pour plusieurs années entre 2000 et 2005.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ & 0 &	2 	&3 &4 &5\\ \hline 
Production en GWh : $y_{i}$ & 71593 & 65826 & 64472 & 65393 & 57271\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter, dans le plan muni d'un repère orthogonal, le nuage de points associés à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ définie ci-dessus.
 
On utilisera une feuille de papier millimétré et on choisira comme unités graphiques 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et 5~cm pour  10000~GWh sur l'axe des ordonnées. On débutera la graduation sur l'axe des ordonnées à 50000. 

\item L'allure du nuage de points permet d'envisager un ajustement affine. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. 
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation $y = mx+ p$ de la droite $d$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients $m$ et $p$ seront arrondis au dixième. 
		\item Placer le point $G$ et tracer la droite $d$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }}Production d'électricité d'origine éolienne}

\medskip
 
Le tableau suivant donne la capacité de production d'électricité d'origine éolienne installée en France de 2003 à 2008.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2003 &2004 &2005 &2006 &2007&2008\\ \hline  
Rang de l'année : $x_{i}$ &0&1&2&3&4&5\\ \hline 
Puissance installée en MWh : $y_{i}$ & 1,9 &3,3 &5,5 &9,4 &35,5 &104,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Ces données sont représentées par le nuage de points ci-après: 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.25,-.5)(6,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(6,6)
\psset{xunit=1.5cm, yunit=.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=20]{-}(0,0)(6,120)
\savedata{\nuage}[(0,1.9)(1,3.3)(2,5.5)(3,9.4)(4,35.5)(5,104.5)]
\dataplot[dotstyle=B+,linecolor=bleu,plotstyle=dots,linewidth=2pt]{\nuage}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip 
 
On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent.
 
L'allure du nuage suggère de rechercher un ajustement exponentiel de $y$ en $x$. Pour cela on pose pour tout entier naturel $i$ compris entre 0 et 5 : $z_{i}  = \ln \left(\dfrac{y_{i}}{100}\right)$
 
\emph{Dans les questions a et b suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang de l'année : $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 
Puissance installée : $y_{i}$& 1,9 &3,3 &5,5 &9,4 &35,5 &104,5\\ \hline 
$z_{i}  = \ln \left(\dfrac{y_{i}}{100}\right)$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item Déterminer une équation de la droite $d'$ d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. 
		\item Sachant que $z  = \ln \left(\dfrac{y}{100}\right)$, déterminer l'expression de $y$ sous la forme $k \e^{ax}$ où $k$ et $a$ sont des nombres réels à calculer.
	\end{enumerate} 
\item On suppose que l'évolution de la puissance installée se poursuit dans un avenir proche selon le modèle précédent.
 
Estimer, au centième de MWh près, la puissance installée prévue pour l'année 2010. 
	\end{enumerate}
	
\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte.}
 
\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.} 

\emph{Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-3 ; 0]$ par $f(x) = x^2$. Sa valeur moyenne sur l'intervalle $[-3 ; 0]$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\mu = 4,5$ & $\mu = 3$ & $\mu = \dfrac{1}{3}$ &$\mu = - 3$\\
\end{tabularx}
 
\item $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right)$, $f'$ désigne sa fonction dérivée sur $\R$. Alors:
 
\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
$f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + x + 1}$& $f'(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$& $f'(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$&  $f'(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{2x + 1}$\\
\end{tabularx}}
 
\item La primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I= ]0 ;  + \infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x^2 - x + 3}{x}$ telle que $F(1) = 1$ vérifie: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}}
$F(x) = \dfrac{\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 3x}{\dfrac{1}{2}x^2} - \dfrac{17}{3}$&  $F(x) = x^2 - 1 + 3\ln x$\\ 
$F(x) = x^2 - x + 3\ln x + 1$ &  $F(x) = 2 - \dfrac{3}{x^2} + 1$\\
\end{tabularx}

\item $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $I= ]0 ; + \infty[$ par $f(x) = \dfrac{5}{x}$, on note $\mathcal{C}$ sa courbe  représentative dans un repère donné du plan. L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$5 \ln 2$ & 	$\ln 10 - \ln 5$ &  	$3,466$ & $\ln \left(\dfrac{2}{5}\right) - \ln \left(\dfrac{1}{5}\right)$\\
\end{tabularx}
 
\item La limite de la fonction $f$ définie sur l'intervalle  $I= ]0 ;  + \infty[$ par $f(x) = x^2 - x - \ln x$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$- \infty$ & 0 & $\e$ & $+ \infty$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte.}
 
\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.} 

\emph{Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip
 
 \begin{enumerate}
\item Les points $A (1 ; 2 ; 3)$, $B(3 ; 2 ; 1)$ et $C (1 ; 1 ; 1)$ sont trois points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk. Le plan $(ABC)$ est parallèle au plan $P$ d'équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$x + y - z = 0$  & $y = \dfrac{1}{2}$ & $x + y + z - 1 = 0$ & $x - 2y + z + 3 = 0$\\
\end{tabularx}

\item  Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $u_{n} = \dfrac{1 + \left(- \dfrac{1}{2} \right)^n}{1 + n}$. Cette suite : 


\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
a pour limite $\dfrac{1}{n}$  & a pour limite 0 & a pour limite 1 & n'a pas de limite\\
\end{tabularx}

\item Le graphe ci-dessous admet exactement $n$ chaînes de longueur 4 allant de A vers B avec : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,2.5){A}{\bleu{A}}  \cnodeput(4.5,2.5){B}{\bleu{B}}
\cnodeput(4.5,0){C}{\bleu{C}}\cnodeput(0.5,0){D}{\bleu{D}}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{C}
\ncarc[arcangle=20]{->}{C}{D}
\ncarc[arcangle=20]{->}{C}{B}
\rput{135}{\nccircle{->}{D}{0.35cm}}
\ncarc[arcangle=20]{->}{D}{A}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{D}
\end{pspicture} 
\end{center}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$n = 1$  & $n = 3$ & $n = 5$ & $n = 8$\\
\end{tabularx}

 
\item La suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $v_{n} = \dfrac{4n + 3}{n+1}$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
n'est pas monotone  & n'admet pas de limite & est croissante & est majorée par 0\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Le graphe ci-dessous a un nombre chromatique $\kappa$ égal à : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu}
\cnodeput(1.5,3){A}{\bleu{A}}\cnodeput(4.5,3){B}{\bleu{B}} \cnodeput(5.5,1.75){C}{\bleu{C}}
\cnodeput(4.5,0.5){D}{\bleu{D}}\cnodeput(1.5,0.5){E}{\bleu{E}}\cnodeput(0.5,1){F}{\bleu{F}}
\cnodeput(0.5,2.5){G}{\bleu{G}}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncline{C}{D} 
\ncline{D}{B} \ncline{A}{E} \ncline{E}{F} 
\ncline{F}{G} \ncline{G}{A} \ncline{A}{C}        
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
2  & 3 & 4 & 5\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, on appellera motard tout conducteur d'une moto dont la cylindrée est supérieure à $50 \mathrm {cm}^3$. Ces motards se décomposent en deux catégories :

\begin{itemize}
\item la catégorie A définie par le fait que les motards conduisent une moto de cylindrée $125 \mathrm {cm}^3$ ou plus, 
\item la catégorie B définie par le fait que les motards conduisent une moto d'une cylindrée strictement inférieure à $125 \mathrm {cm}^3$. 
\end{itemize}

\medskip

La moto peut être de type \emph{sportive} ou \emph{routière}.

\medskip
 
On considère que : 

\begin{itemize}
\item ceux de la catégorie A représentent 44\,\% de l'ensemble des motards 
\item 65\,\% de ceux de la catégorie B possèdent une moto de type sportive.
\end{itemize}
 
On interroge au hasard un motard et on note :


\begin{itemize}
\item[] $A$ : l'évènement \og le motard est de la catégorie A \fg,
\item[] $B$ : l'évènement \og le motard est de la catégorie B \fg, 
\item[] $S$ : l'évènement \og la moto est de type sportive \fg, 
\item[] $R$ : l'évènement \og la moto est de type routière \fg.
\end{itemize}

\medskip
 
\emph{Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième. On pourra utiliser un arbre de probabilité ou un tableau.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que le motard interrogé soit dans la catégorie B et conduise une moto de type routière est égale à $0,196$. 
\item 36,6\,\% des motos sont de type routière.
 
Quelle est la probabilité que le motard choisi conduise une moto de type sportive et soit dans la catégorie A ? 
\item Quelle est la probabilité qu'un motard soit dans la catégorie B sachant qu'il conduit une moto de type routière ? 
\item On choisit au hasard et de façon indépendante trois motards. Quelle est la probabilité qu'au moins un d'entre eux soit de la catégorie B ? 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère la fonction numérique $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$, on ait : 

\[f(x) = \dfrac{x^2}{2} - x^2\e^{x - 1}.\]

On note $f'$ sa fonction dérivée sur $\R$.
 
Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{x^2*(.5-Euler^(x-1))}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-5,-4)(5,4)
\uput[d](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[d](1,0){\footnotesize{1}}\uput[l](0,1){\footnotesize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu] {-2.88}{1.66}{\f}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle conjecture pourrait-on faire concernant le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-3 ; 2]$ en observant cette courbe ?
 
Dans la suite du problème, on va s'intéresser à la validité de cette conjecture.

\medskip
 
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = xg(x)$ où $g(x) = 1 - (x + 2)\e^{x - 1}$ pour tout $x$ de $\R$.
 
Pour la suite, on admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. 
\item \'Etude du signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites respectives de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et quand $x$ tend vers $- \infty$.
		  
On pourra utiliser sans la démontrer l'égalité : $g(x) = 1 - \dfrac{x\e^{x} +2\e^{x}}{\e}$.  
		\item  Calculer $g'(x)$ et étudier son signe suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $g$ puis dresser son tableau de variation en y reportant les limites déterminées précédemment. 
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution dans $\R$. On note $\alpha$ cette solution. Justifier que $0,20 < \alpha < 0,21$. 
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item Sens de variation de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ 
		\item Que pensez-vous de la conjecture de la question 1 ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
        
\end{document}