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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2010 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Centres Étrangers}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Centres Étrangers 2010}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses} a,~ b \emph{ou} c \emph{ est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre réel $\e^{\frac{3x}{2}}$  est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{} X@{\hspace{1cm}}   m{5cm} @{\hspace{1cm}}  X@{}}
a)\quad  $\dfrac{\e^{3x}}{\e^2}$ & b)\quad  $\e^{3x} - \e^2$ & c)\quad  $\left(\sqrt{\e^{x}}\right)^3$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item L'équation $\ln \left(x^2 + x + 1\right) = 0$ admet sur $\R$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\hspace{1cm}}   m{5cm} @{\hspace{1cm}}  X@{}}
a)\quad  Aucune solution & b)\quad  Une seule solution & c)\quad  Deux solutions
\end{tabularx}

\medskip
  
\item L'équation $\e^x = \e^{-x}$ admet sur $\R$ : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\hspace{1cm}}   m{5cm} @{\hspace{1cm}}  X@{}}
a)\quad  Aucune solution & b)\quad  Une seule solution & c)\quad  Deux solutions
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1 ;  +\infty[$ vérifiant la propriété suivante :
 
Pour tout $x \in  [1 ;  +\infty[,~ \dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant 1$. 

On peut alors affirmer que :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\hspace{1cm}}   m{5cm} @{\hspace{1cm}}  X@{}}
a)\quad  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ & b)\quad  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1$ & c)\quad  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = + \infty$\\ 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur un intervalle I, telles que $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur I. On suppose que la fonction $g$ est croissante sur I. Alors on peut affirmer que :

\medskip
\begin{enumerate}
	\item La fonction $g$ est positive sur I.
	\item La fonction $f$ est positive sur I.
	\item La fonction $f$ est croissante sur I.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 
Le tableau ci-dessous indique l'évolution de la dette en milliards d'euros de l'État français entre 1990 et 2004 :

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 1990 &1992 &1994 &1996 &1998 &2000 &2002 &2004\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Dette $y_{i}$ en  milliards d'euros & 271,7 &321,4 &443 &540,1 &613,1 &683,5 &773,4 &872,6\\ \hline 
\multicolumn{9}{r}{\scriptsize{\textsf{Source INSEE.}}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\emph{Dans tout l'exercice, on donnera des valeurs approchées arrondies au dixième.}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} : \'Etude statistique }

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dette moyenne de l'État entre 1990 et 2004. 
\item En prenant l'année 1990 comme référence (indice 100), calculer les indices correspondant à la dette de l'État de 1992 à 2004. Donner la réponse sous forme d'un tableau. 
\item Déterminer le taux global d'évolution de la dette de l'État entre 1990 et 2004. 
\item Déterminer le taux moyen d'évolution de la dette de l'État sur une période de deux ans. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} : Interpolation et extrapolation de données}

\medskip
 
On donne ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.6,-.5)(8,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(3.7,6.5){\textsf {\textbf{Dette}}}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.005cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,tickwidth=.25pt,tickcolor =darkgray, xticksize=-2pt 2pt, yticksize= -2pt 8,Dy=200](0,0)(8,1200)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,linecolor=bleu](0,271.7)(1,321.4)(2,443) (3,540.1)(4,613.1)(5,683.5)(6,773.4)(7,872.6)
\end{pspicture}
\end{center} 

La forme du nuage permet d'envisager un ajustement affine.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. 
\item  Selon cet ajustement, à partir de quelle année peut-on estimer que l'État aurait dépassé les 1000~milliards de dette ? 
\item  Selon cet ajustement, déterminer l'année à partir de laquelle la dette de l'État sera le double de la dette de l'an 2000. 
\end{enumerate}


\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année $(2010 + n)$. En 2010, la forêt possède 50000~arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\:\% des arbres existants et de replanter 3000~arbres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la situation peut être modélisée par :
 
\begin{center}
$u_{0} = 50$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation : $u_{n + 1} = 0,95u_{n} + 3$.
\end{center}
 
\item  On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 60 - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$. 
		\item Calculer $v_{0}$. Déterminer l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 60 - 10 \times (0,95)^n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité  $u_{n + 1}  - u_{n} = 0,5 \times  (0,95)^n$. 
		\item  En déduire la monotonie de la suite.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10\:\% le nombre d'arbres de la forêt en 2010. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter. 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

 
Pour une marque de téléphone portable donnée, on s'intéresse à deux options de dernière technologie proposées, le GPS et le Wifi. Sur l'ensemble des téléphones portables, 40\:\% possèdent l'option GPS. Parmi les téléphones avec l'option GPS, 60\:\% ont l'option Wifi.

\medskip
 
On choisit au hasard un téléphone portable de cette marque et on suppose que tous les téléphones ont la même probabilité d'être choisis.
 
On considère les évènements suivants :


\begin{itemize}
\item[] G : \og  le téléphone possède l'option GPS \fg.
\item[] W : \og  le téléphone possède l'option Wifi \fg.
\end{itemize}

\medskip
 
\emph{Dans tout l'exercice, le candidat donnera des valeurs exactes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données chiffrées de l'énoncé en termes de probabilité. 
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l'exercice.
\end{enumerate} 

\medskip

On suppose que la probabilité de W est : $p(\mathrm{W}) = \dfrac{7}{10}$.
 
 \medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og le téléphone possède les deux options \fg. 
\item Démontrer que $p_{\overline{\mathrm{G}}}(\mathrm{W}) = \dfrac{23}{30}$. Compléter l'arbre du \textbf{2.} 
\item On choisit un téléphone avec l'option Wifi. Quelle est la probabilité qu'il ne possède pas l'option GPS ? 
\end{enumerate} 

\medskip
Le coût de revient par téléphone d'une option, pour le fabricant de téléphones, est de 12~euros pour l'option GPS et de 6~euros pour l'option Wifi. 
 
 \medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item Déterminer la loi de probabilité du coût de revient de ces deux options. 
\item Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Interpréter ce résultat. 
\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 1 + \ln(x)$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.
 
Le point $A(\e ; 2)$ appartient à $\mathcal{C}_{f}$ et on note $T_{\e}$ la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$.
 
Le point $C$ est le point d'intersection de la tangente $T_{\e}$ et de l'axe des abscisses. 

Le point $E$ a pour coordonnées $(\e ;~0)$.
 
On admettra que sur $]0 ; +\infty[$,~ $\mathcal{C}_{f}$ reste en dessous de $T_{\e}$. 

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(6.5,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{gris}{.85 .85 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.45 .45 .6}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1+ln(x)}
\def\g{1+x/2.71828}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=.5pt, linecolor=bleu]{0.367879}{2.71828}{\f} \gsave
\psline(0.367879,1.13534)(0.367879,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gris] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4.5,-1.5)(6.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](6.4,0){$x$} \uput[l](0,4.4){$y$}
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\psline[linestyle=dashed,linecolor=prune,linewidth=.5pt](2.71828,0)(2.71828,2)
\psplot[algebraic=true,linecolor=bleu,linewidth=1.25pt,plotpoints=500]{0.082}{6.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,linecolor=prune,linewidth=1pt,plotpoints=2]{-4.5}{6.5}{\g}
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.75](-2.71828,0)(0.367879,0)(2.71828,0)(2.71828,2)
\uput[d](6,2.7){\bleu $\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](6,3.2){\prune $T_\e$}
\uput[u](2.71828,2){\bleu $A$} \uput[dr](0.3,0){\bleu $B$}\uput[d](-2.71828,0){\prune $C$}\uput[d](2.71828,0){\prune $E$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le point $B$ est le point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et de l'axe des abscisses. 
		
		Calculer les coordonnées du point $B$. 
		\item Démontrer que, pour $x \geqslant \dfrac{1}{\e},~ f(x) \geqslant  0$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de $T_{\e}$. 
		\item En déduire les coordonnées du point $C$. 
		\item Vérifier que les points $E$ et $C$ sont symétriques par rapport à O, origine du repère.
	\end{enumerate}
 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0 ;  +\infty[$ par $g(x) = x \ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0 ;  +\infty[$.
		\item En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_{\frac{1}{\e}}^{\e} (1 + \ln x) \dd x$. Interpréter ce nombre. 
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.}

Déterminer la valeur exacte de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par $\mathcal{C}_{f}$, $T_{\e}$ et les droites parallèles à l'axe des ordonnées passant par $B$ et $E$. Ce domaine est grisé sur le graphique.

 Donner une valeur approchée arrondie au millième de cette aire. 
\end{enumerate}

        
\end{document}