Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: France Métropolitaine

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point.
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. correspondante.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise a équipé chacun de ses employés d'un seul ordinateur.
Pour le suivi de ses ordinateurs, l'entreprise fait appel à un même service de maintenance informatique.
Pour évaluer ce service, l'entreprise réalise une enquête et dispose ainsi, pour chaque employé, d'une fiche précisant la marque de son ordinateur et son avis sur le service de maintenance.

Il y a trois marques d'ordinateurs Aliet, Balart et Celt.

L'enquête a fourni les résultats suivants :

On choisit au hasard la fiche d'un employé de l'entreprise, chacune ayant la même probabilité d'être choisie.
On note :

  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

  2. Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé équipé d'un ordinateur Aliet et satisfait du service de maintenance.

  3. Démontrer que la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé satisfait du service de maintenance est 0,765.

  4. Sachant que la fiche choisie est celle d'un employé satisfait du service de maintenance, calculer la probabilité que cet employé soit équipé d'un ordinateur de la marque Celt.
    Le résultat sera arrondi à 10 − 3.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un équipementier fabrique pour une usine de l'industrie automobile deux types de sièges : un modèle "luxe" et un modèle "confort ".
Soit x le nombre, exprimé en centaines, de sièges "luxe" et y le nombre, exprimé en centaines, de sièges "confort" produits chaque mois.
La fonction coût mensuel de production est la fonction F dénie pour x et y appartenant à l'intervalle 03 par Fxy=x2-2x+y2-4y+6Fxy désigne le coût mensuel de production, exprimé en dizaines de milliers d'euros, pour x centaines de sièges "luxe" et pour y centaines de sièges "confort".

  1. Au mois de janvier 2010, l'équipementier a produit 120 sièges "luxe" et 160 sièges "confort".
    Justifier que le coût de production mensuel a été 12 000 euros.

  2. Vérifier que, x et y étant deux nombres réels, x2-2x+y2-4y+6=x-12+y-22+1.
    En déduire que le coût de production mensuel minimal est 10 000 euros. Préciser pour quelles quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" produites ce coût de production est obtenu.

  3. À partir du mois de juillet 2010, la production mensuelle prévue de sièges est exactement 250.

    1. Justifier que y=2,5-x.
      Démontrer que, sous cette condition, le coût de production mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, est égal à 2x2-3x+2,25.

    2. On note f la fonction définie sur l'intervalle 02,5 par fx=2x2-3x+2,25.
      Dresser en le justifiant le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle 02,5.

    3. En déduire les quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" que l'équipementier doit produire à partir du mois de juillet 2010 pour minimiser le coût mensuel de production. Préciser ce coût minimal.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Pour i nombre entier variant de 0 à 8, on définit le tableau suivant qui donne les valeurs du SMIC horaire brut, exprimé en euros, de 2001 à 2009 (source INSEE).
On se propose d'en étudier l'évolution :

Année 200120022003200420052006200720082009
Rang de l'année xi012345678
SMIC horaire brut (en euros), yi6,676,837,197,618,038,278,448,718,82

Dans tout l'exercice les pourcentages seront arrondis à 0,01 % et les valeurs du SMIC horaire brut au centime d'euro.

partie a : Observation des données

  1. Pour i entier variant de 0 à 8, représenter le nuage de points Mixiyi dans le plan muni d'un repère orthogonal défini de la façon suivante :

    • sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1 cm pour 1 année,
    • on graduera l'axe des ordonnées en commençant à 6 et on choisira 5 cm pour 1 euro.
  2. Calculer le pourcentage d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2009.

  3. Démontrer qu'une valeur approchée du pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2005 est 4,75 %.

On observe sur le graphique un changement de tendance à partir de 2005 : le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut est alors de 2,4 % environ.
En supposant que cette nouvelle tendance se poursuive, on désire estimer la valeur du SMIC horaire brut en 2012.
Dans la suite de l'exercice, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage constitué des cinq derniers points M4, M5, M6, M7, et M8 du nuage précédent.

partie b : Modélisation de la série statistique xiyi4i8 par un ajustement exponentiel

En observant le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2005 et 2009, on estime à 8,03 ×1,024n la valeur, exprimée en euros, du SMIC horaire brut pour l'année 2005 + n, n désignant un entier naturel.
On considère que ce nouveau modèle reste valable jusqu'à l'année 2016.

  1. Calculer une estimation de la valeur du SMIC horaire brut en 2012.

  2. À partir de quelle année la valeur du SMIC horaire brut dépassera-t-elle 10 euros ?


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché. Soit x la quantité d'appareils pouvant être vendus, exprimée en milliers.
La fonction d'offre de cet appareil est la fonction f définie sur l'intervalle 035 par fx=153e0,05x. Le nombre réel fx désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, proposé par les fournisseurs, en fonction de la quantité x, exprimée en milliers, d'appareils pouvant être vendus.
La fonction de demande de cet appareil est la fonction g définie sur l'intervalle 035 par gx=-116lnx+1+504. Le nombre réel gx désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, accepté par les consommateurs, en fonction de la quantité x, exprimée en milliers, d'appareils disponibles.

    1. Démontrer que la fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle 035.

    2. Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle 035.

    3. Les courbes représentatives respectives Cf et Cg des fonctions f  et g , tracées dans un repère orthogonal, sont fournies en annexe 1 à rendre avec la copie.
      Lire avec la précision autorisée par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection E.

  1. Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle 035 l'équation fx=gx.
    Pour cela, on considère la fonction h définie sur l'intervalle 035 par hx=fx-gx.

    1. Déterminer le sens de variation de la fonction h sur l'intervalle 035.
      On pourra utiliser la question 1.

    2. Démontrer que l'équation hx=0 admet une solution unique x0 dans l'intervalle 035.

    3. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de x0 au millième.

    4. On pose y0=fx0. En utilisant la question précédente, calculer l'arrondi de y0 au centième.

    5. Sachant que y0 représente le prix unitaire d'équilibre de cet appareil, préciser ce prix à un centime d'euro près. Quel est le nombre d'appareils disponibles à ce prix ?

  2. On prendra dans cette question x0=8,871 et y0=238,41.

    1. Déterminer une primitive F de la fonction f  sur l'intervalle 035.

    2. On appelle surplus des fournisseurs le nombre réel S défini par la formule :S=x0×y0-0x0fxdx Hachurer, sur le graphique de la feuille annexe 1 à rendre avec la copie, le domaine du plan dont l'aire en unités d'aire est le nombre réel S.
      Déterminer la valeur arrondie au millième du nombre réel S.


annexe 1

Courbes Cf et Cg : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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✉ A.Yallouz

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