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% en-tête
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\lfoot{Liban 2010}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $A$ et $B$ sont deux év\`enements indépendants et on sait que $p(A) = 0,5$ et 

$p(B) = 0,2$.

La probabilité de l'évènement $A \cup B$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
Réponse A : 0,1& Réponse B : 0,7\\ 
Réponse C : 0,6& Réponse D : on ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}
\end{center}   
\item  Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50\:\% des cahiers ont une reliure spirale et que 75\:\% des cahiers sont à grands carreaux. Parmi les cahiers à grands carreaux, 40\:\% ont une reliure spirale.
 
Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu'il soit à grands carreaux est égale à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
Réponse A: 0,3& Réponse B: 0,5 \\
Réponse C: 0,6& Réponse D: 0,75\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
Dans les questions 3. et 4., on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25\:\% de ces stylos-feutres sont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3~stylos-feutres. 
\item  La probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
Réponse A: 0,250& Réponse B: 0,422\\ 
Réponse C: 0,578& Réponse D: 0,984\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item  La probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'il prenne exactement 2~stylos-feutres verts est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
Réponse A: 0,047& Réponse B: 0,063\\ 
Réponse C: 0,141& Réponse D: 0,500\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x + k\e^{ax}$ où $k$ et $a$ sont des nombres fixés.

Sur la figure donnée en annexe, la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $g$ et la droite $D$ d'équation $y = x$ sont tracées dans un repère orthogonal (unités : 2~cm pour l'axe des abscisses, 1~cm pour l'axe des ordonnées).

Le point $E$ a pour coordonnées $(0 ; 6)$ et le point $F$ a pour coordonnées $(3 ; 0)$. On précise que la droite $(EF)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $E$ et la courbe $\mathcal{C}$ admet au point $B$ une tangente horizontale.
 
On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, déterminer la valeur de $g(0)$. 
		\item Par lecture graphique, déterminer la valeur de $g'(0)$. 
		\item Exprimer $g'(x)$ en fonction de $a$ et $k$. 
		\item En utilisant les résultats précédents, déterminer les valeurs de $k$ et $a$. On justifiera les calculs.
	\end{enumerate}
\end {enumerate}

\medskip
	 
Dans la suite de l'exercice, on prendra  $g(x) = x + 6\e^{-0,5x}$. 

\medskip

	\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	
\item Démontrer que la droite $D$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 
\item On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est située au dessus de la droite $D$. Soit $S$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $S$ sur le graphique. 
		\item Calculer, en $\mathrm{cm}^2$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $S$. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $0,1\mathrm{cm}^2$ près. 
	\end{enumerate}
	
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse. sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer la valeur exacte de l'abscisse du point $B$. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(12,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x+6*Euler^(-.5*x)}
\rput(4.5,10.5){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-1)(12,10)
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\psaxes[linewidth=0.8pt,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-1)(6,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.9,0){$x$} \uput[l](0,9.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.258}{6}{\f}
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune]{-}(-1.5,9)(3.5,-1)
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune]{-}(-1,-1)(6,6)
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune]{<->}(1.197,4.197)(3.197,4.197)
\psdots[dotstyle=*, linecolor=prune,dotscale=.8](2.197,4.197)
\uput[u](4.75,5.4){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\uput[u](2.197,4.2){\bleu{$B$}}
\uput[ur](0,6){\bleu{$E$}}
\uput[ur](3,0){\prune{$F$}}
\uput[dr](5.5,5.5){\prune{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]0 ; 20]$ par $f(x) = \left(3\e^2  - x\right)\ln x + 10$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $0$. 
		\item  Calculer la valeur exacte de $f\left(\e^2\right)$, puis une valeur approchée à $0,01$ près.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout $x$ de $]0 ; 20]$,  $f'(x) = - \ln x + \dfrac{3\e^2}{x} - 1$ où $f'$ désigne la dérivée de la  
fonction $f$. 
\item On admet que la fonction dérivée $f'$ est strictement décroissante sur $]0 ; 20]$ et que son tableau de variations est le suivant : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(9,2.8)
\psset{linewidth=.75pt}
\psframe(9,2.8)\psline(2,0)(2,2.8) \psline(0,2)(9,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psline(2.3,0)(2.3,2) \psline(2.5,0)(2.5,2)
\rput(1,2.4){$x$}\rput(2.4,2.4){0} \rput(5.6,2.4){$\e^2$}\rput(8.4,2.4){20}
\rput(1,1){$f'(x)$} \rput(2.8,1.7){\rnode{A}{$+\infty$}} \rput(8.4,.3){\rnode{B}{$f'(20)$}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncput*{0}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du tableau de variations, donner le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; 20]$. 
		\item  Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 20]$ et dresser son tableau de variations sur cet intervalle.
	\end{enumerate}	 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, sur l'intervalle $[0,6 ;  0,7]$, l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution notée $\alpha$. À la calculatrice, donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ près par excès. 
		\item  Démontrer que $f(x)$ est négatif pour tout $x \in ]0 ; \alpha[$ et que $f(x)$ est positif pour tout $x \in ]\alpha ; 20]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Une entreprise produit et vend chaque semaine $x$ milliers de DVD, $x$ appartenant à $]0 ; 20]$.
 
Le bénéfice réalisé est égal à $f(x)$ milliers d'euros où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
 
En utilisant les résultats de la partie A :
 
\begin{enumerate}
\item  déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ; 
\item  déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 10~euros près, de ce bénéfice maximal. 
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'évolution du chiffre d'affaires du groupe de distribution Enville pour la période 2004-2008 est donnée dans le tableau 1 ci-dessous:

\medskip

Tableau 1 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année& 2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
Progression du chiffre d'affaires par rapport à l'année précédente&4,7\:\% &10,6\:\% &4,1\:\% &5,8\:\% &7,5\:\%\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
 
Par exemple, le chiffre d'affaires du groupe a augmenté de 10,6\:\% entre le 31 décembre 2004 et le 31 décembre 2005. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer qu'une valeur approchée à $0,1$~près du pourcentage annuel moyen d'augmentation, est 6,5. 
		\item  En 2008, ce groupe a réalisé un chiffre d'affaires de 59,5~milliards d'euros. La direction prévoit une croissance annuelle de 6,5 \:\% pour les années suivantes. Donner une estimation à 0,1~milliard d'euros près du chiffre d'affaires du groupe pour l'année 2010.
	\end{enumerate}
 
\item L'évolution, sur 8 ans, du chiffre d'affaires du groupe Aupré, concurrent du groupe Enville, est donnée par le tableau 2 ci-dessous:
 
\medskip

Tableau 2 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 2001 &2003 &2005 &2007 &2008\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 1 &3 &5 &7 &8 \\ \hline
Chiffre d'affaires exprimé en milliards d'euros $y_{i}$& 64,8 &68,7 &72,7 &77,1 &82,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip  

Pour cette question tous les résultats seront arrondis au dixième près. 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$ en prenant comme origine le point de coordonnées $(0 ; 60)$ (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 0,5~cm sur l'axe des ordonnées). 
		\item  En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$. Tracer cette droite sur le graphique. 
		\item  \`A l'aide de l'ajustement précédent, déterminer graphiquement une estimation du chiffre d'affaires du groupe Aupré pour l'année 2010. On laissera apparents les traits de construction.
	\end{enumerate}
	 
\item Dans cette question, on suppose qu'à partir de 2008 le chiffre d'affaires du groupe Enville progresse chaque année de 6,5\:\% et celui du groupe Aupré de 3\:\%. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $59,5 \times 1,065^n > 82,1 \times 1,03^n$. 
		\item Déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du groupe Enville dépassera celui du groupe Aupré.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\pagebreak

\setcounter{nexo}{3}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
  
Deux chaînes de télévision A et B programment chaque semaine, à la même heure, deux émissions concurrentes. On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant. 

La première semaine, 70\:\% de ces téléspectateurs ont regardé la chaîne A.

Une étude statistique montre que :
 
15\:\% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent la chaîne B la semaine suivante. 

10\:\% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne A la semaine suivante. 

On note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de téléspectateurs des chaînes A et B la $n$-ième semaine et $P_{n}$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}
 a_n & b_n \\ \end{pmatrix}$. On a donc $P_{1} = \begin{pmatrix}
0,7 & 0,3 \\ \end{pmatrix}$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le graphe probabiliste représentant la situation. 
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe.
 	\end{enumerate}
	 
\item Calculer $M^3$ à l'aide de la calculatrice, donner les résultats en arrondissant à $10^{-3}$ près. Quelle est la répartition des téléspectateurs entre les deux chaînes lors de la quatrième semaine ? 
\item On considère la matrice ligne $P = \begin{pmatrix}
a & b \\ \end{pmatrix}$, où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a + b = 1$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = P M$.
 
		\item Interpréter les deux valeurs trouvées.
	\end{enumerate} 
\item On admet que pour tout entier naturel $n > 0$, on a : $a_{n} = 0,4 + 0,3 \times \left(0,75^{n - 1}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $a_{n} < 0,5$. 
		\item \`A partir de quelle semaine l'audience de l'émission de la chaîne B dépassera-t-elle celle de l'émission de la chaîne A ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

       
\end{document}