sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. À l'aide du tableau, répondre aux questions suivantes. Aucune justification n'est demandée.

   1. Quelles sont les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition ?
      Interpréter graphiquement les résultats.

      $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ alors la droite d'équation $x=2$ est asymptote à la courbe C
      $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=4$ alors la courbe C admet pour asymptote la droite d'équation $y=4$ en $+\infty$.

      ---

   2. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3.

      $f\prime \left(3\right)=0$ alors la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses. Or $f\left(3\right)=6$ donc

      La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3 a pour équation $y=6$.

      ---

   3. Quel est le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=4$ sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ ?

      f est dérivable sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ donc continue sur cet intervalle.

      • Sur l'intervalle $\left]2;3\right]$, f est continue, strictement croissante et $4\in \left]-\infty ;6\right]$ alors d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f\left(x\right)=4$ admet une solution unique $x_0$ appartenant à l'intervalle $\left]2;3\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[3;10\right]$, f est continue, strictement décroissante et $-5<4<6$ alors d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f\left(x\right)=4$ admet une solution unique $x_1$ appartenant à l'intervalle $\left]3;10\right[$.

      • D'autre part, pour tout réel $x⩾10$, $f\left(x\right)<4$. Donc l'équation $f\left(x\right)=4$ n'a pas de solution sur l'intervalle $\left[10;+\infty \right[$

      L'équation $f\left(x\right)=4$ admet deux solutions sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$

      ---

2. Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ par : $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}$.

   1. Calculer $g\left(5\right)$

      $$g\left(5\right)={\mathrm{e}}^{f\left(5\right)}={\mathrm{e}}^0=1$$

      $g\left(5\right)=1$

      ---

   2. Calculer la limite de la fonction g en 2.

      $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ alors par composition des limites, $\underset{x\to 2}{\lim }{\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}=0$

      $\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=0$

      ---

   3. Déterminer le sens de variations de g sur l'intervalle $\left[3;10\right]$, en justifiant la réponse.

      La fonction exponentielle est strictement croissante sur $ℝ$ par conséquent, les fonctions f et ${\mathrm{e}}^f$ ont les mêmes variations sur tout intervalle où f est définie. D'où le tableau des variations de g sur l'intervalle $\left[3;10\right]$

      x	3		10		$+\infty$
      Variations de g	${\mathrm{e}}^6$		${\mathrm{e}}^{-5}$		${\mathrm{e}}^4$

   4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 5.

      Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 5 est :$$y=g\prime \left(5\right)\times \left(x-5\right)+g\left(2\right)$$

      Or $g\prime \left(x\right)=f\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}$. D'où $$\begin{array}{ccc}g\prime \left(5\right)=f\prime \left(5\right)\times {\mathrm{e}}^{f\left(5\right)}& \text{soit}& g\prime \left(5\right)=-2\times {\mathrm{e}}^0=-2\end{array}$$

      Par conséquent, la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 5 a pour équation $$\begin{array}{ccc}y=-2\times \left(x-5\right)+1& \iff & y=-2x+11\end{array}$$

      La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 5 a pour équation $y=-2x+11$

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