sujet : Pondichery

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. 1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

      • 40 % des automobilistes prennent l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence donc $p\left(B\right)=\mathrm{0,4}$ et $p\left(\overline{B}\right)=1-p\left(B\right)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$.

      • Parmi les automobilistes ayant suivi l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence, 30 % prennent la route départementale de Valence à Marseille donc $p_B\left(V\right)=\mathrm{0,3}$ et $p_B\left(\overline{V}\right)=1-p_B\left(V\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$.

      • Parmi les automobilistes n'ayant pas suivi l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence, 60 % prennent la route départementale de Valence à Marseille. donc $p_{\overline{B}}\left(V\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_{\overline{B}}\left(\overline{V}\right)=1-p_{\overline{B}}\left(V\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$.

      D'où l'arbre pondéré représentant la situation :

   2. Montrer que la probabilité de l'événement $\overline{B}\cap \overline{V}$ est $p\left(\overline{B}\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,24}$ et interpréter ce résultat.

      $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{B}\cap \overline{V}\right)& =& p_{\overline{B}}\left(\overline{V}\right)\times p\left(\overline{B}\right)\\ & =& \mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}\\ & =& \mathrm{0,24}\end{array}$$

      Ainsi, $p\left(\overline{B}\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,24}$. Lors des journées « rouges », 24 % des automobilistes n'ont pas quitté l'autoroute qui relie Paris à Marseille.

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   3. Calculer la probabilité que l'automobiliste ne choisisse pas la route départementale entre Valence et Marseille.

      Les évènements B et V sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{lll}p\left(\overline{V}\right)& =& p\left(B\cap \overline{V}\right)+p\left(\overline{B}\cap \overline{V}\right)\end{array}$$

      Or $$\begin{array}{ccc}p\left(B\cap \overline{V}\right)& =& p_B\left(\overline{V}\right)\times p\left(B\right)\\ & =& \mathrm{0,7}\times \mathrm{0,4}\\ & =& \mathrm{0,28}\end{array}$$

      D'où $$\begin{array}{lllll}p\left(\overline{V}\right)& =& \mathrm{0,28}+\mathrm{0,24}& =& \mathrm{0,52}\end{array}$$

      La probabilité qu'un automobiliste ne choisisse pas la route départementale entre Valence et Marseille est $p\left(\overline{V}\right)=\mathrm{0,52}$.

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2. On donne les temps de parcours suivants :
   Paris - Beaune (par autoroute) : 4 heures ; Beaune - Valence (par autoroute, en passant par Lyon) : 5 heures ; Beaune - Valence (par itinéraire de délestage, en ne passant pas par Lyon) : 4 heures ; Valence - Marseille (par autoroute) : 5 heures; Valence - Marseille (par la route départementale) : 3 heures.

   1. Calculer les temps de parcours entre Paris et Marseille, selon l'itinéraire choisi.

      Soit t le temps de parcours exprimé en heures :

      • Paris - Marseille par autoroute en passant par Lyon $t=4+5+5=14$

      • Paris - Valence par autoroute en passant par Lyon, Valence - Marseille par la route départementale : $t=4+5+3=12$

      • Paris - Beaune par autoroute, Beaune - Valence par itinéraire de délestage, en ne passant pas par Lyon et Valence - Marseille par autoroute : $t=4+4+5=13$

      • Paris - Beaune par autoroute, Beaune - Valence par itinéraire de délestage, en ne passant pas par Lyon et Valence - Marseille par la route départementale : $t=4+4+3=11$

   2. Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la durée du trajet pour se rendre de Paris à Marseille selon l'itinéraire choisi.

      • Un temps de transport de 14 heures corespond à l'événement $\overline{B}\cap \overline{V}$ et $p\left(\overline{B}\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,24}$

      • Un temps de transport de 13 heures corespond à l'événement $B\cap \overline{V}$ et $p\left(B\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,28}$

      • Un temps de transport de 12 heures corespond à l'événement $\overline{B}\cap V$ et $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{B}\cap V\right)& =& p_{\overline{B}}\left(V\right)\times p\left(\overline{B}\right)\\ & =& \mathrm{0,6}\times \mathrm{0,6}\\ & =& \mathrm{0,36}\end{array}$$

      • Un temps de transport de 11 heures corespond à l'événement $B\cap V$ et $$\begin{array}{ccc}p\left(B\cap V\right)& =& p_B\left(V\right)\times p\left(B\right)\\ & =& \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,3}\\ & =& \mathrm{0,12}\end{array}$$

      D'où la loi de probabilité de la durée du trajet pour se rendre de Paris à Marseille selon l'itinéraire choisi :

      Temps en heures	11	12	13	14
      Probabilité	0,12	0,36	0,28	0,24

   3. Calculer l'espérance de cette loi en donner une interprétation (la conversion en heure minute seconde n'est pas attendue).

      L'espérance mathématique de la loi de probabilité de la durée du trajet pour se rendre de Paris à Marseille est :$$E=11\times \mathrm{0,12}+12\times \mathrm{0,36}+13\times \mathrm{0,28}+14\times \mathrm{0,24}=\mathrm{12,64}$$

      Lors des journées « rouges », la durée moyenne du trajet pour se rendre de Paris à Marseille est de 12,64 heures.

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