sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d'usine.
L'évolution du taux de gaz dans l'air peut être modélisé grâce à la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2x{\mathrm{e}}^{-x}$ où x est le nombre de minutes écoulées depuis l'accident et $f\left(x\right)$ le taux de gaz dans l'air exprimé en parties pour million (ppm).

1. 1. On rappelle que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}\right)=0$. Déterminer la limite de f en $+\infty$ .

   2. On admet que la fonction f  est dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ et on note $f\prime$ sa fonction dérivée. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et étudier son signe pour x élément de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.
      Donner le tableau complet des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

2. On admet que le taux de gaz dans l'air est négligeable après 5 minutes. C'est pourquoi, dans la suite de l'exercice, on restreindra l'étude de la fonction f  à l'intervalle $\left[0;5\right]$.
   Le plan est muni d'un repère orthogonal. La courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ est donnée en annexe 2.

   1. Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-2-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f sur cet intervalle.

      Dire que F est une primitive de f sur l'intervalle $\left[0;5\right]$, signifie que pour tout rél x de cet intervalle, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   2. Calculer la valeur moyenne m (exprimée en ppm) du taux de gaz pendant les 5 minutes.
      On déterminera la valeur exacte de m puis on donnera sa valeur approchée arrondie à 0,01 ppm près.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   On considère que le gaz a un effet irritant pour l'organisme si le taux dépasse 0,65 ppm pendant plus d'une minute.
   Déterminer si le personnel de l'usine a été affecté ou non par la fuite de gaz, en explicitant la démarche.

annexe 2

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